线性代数笔记（6）：内积空间（下）

九、几个重要子空间之间的关系

下面这张图更加全面的表征了几个重要子空间之间的关系：

我们选择性地证明其中之一，其他结论都很容易证明。

十、Normal矩阵与Normal算子

定义：如果有AA*=A*A，则称矩阵A是normal的。

更重要的是，A=M_n×n(C)，A是normal的 ⇔ A 可以对角化。

定义：如果有TT*=T*T，则称算子T是normal的。

Normal算子的一些性质由Thm 6.15给出。

十一、Normal是可对角线化的充要条件

十二、埃尔米特算子与矩阵

从下面定义中可以看出，如果T（或A）是self-adjoint的，那么它也一定是normal的。

之前的介绍表明当Field是C时，Normal就是可对角线化的充要条件。现在我们想知道如果Field是R时，是否还能找到一个用于判定矩阵（或算子）是否可对角化的简单标准。下面这个定理就告诉我们，当Field是R时，self-adjoint 就是可对角线化的充要条件。

十三、投影与正交投影

例如，在下图中，x = u + v, 在T的作用下，x沿着W₂的方向投影到W₁上即得到u。

更进一步地，还可以定义正交投影的概念（如果用图示来表示就是上图中的W₁和W₂彼此垂直）。

下面定理给出了判断一个算子T是正交投影的充要条件。

十四、酉矩阵与正交矩阵

Definitions: A ∈ M_n×n(C), A*A = AA* = I, then A is unitary; A ∈ M_n×n(R), A^TA = AA^T = I, then A is orthogonal。

回忆前面给出的Thm 6.17，它表明T是self-adjoint ⇔ ∃β = {v₁, v₂, ... , v_n}，β is an orthonormal basis for V, v_i is 特征向量。下面这个推论告诉我们，如果T同时是orthogonal的，那么相应地就会得出|λ_i|=1。

注意上述推论中F=R，如果令F=C，则有如下推论（此时T仅是unitary）：

(本文完)

本文主要根据台湾交通大学开放课程线性代数（莊重 特聘教授主讲）之授课内容整理，并参考以下书籍：

【1】S.H. Friedberg, A.J. Insel, L.E Spence, 4th edition, Linear Algebra, Prentice-Hall, 2003