康托展开和逆康托展开

简述
康托展开是一个全排列到一个自然数的双射，常用于构建hash表时的空间压缩。设有n个数（1，2，3，4,…,n），可以有组成不同(n!种)的排列组合，康托展开表示的就是是当前排列组合在n个不同元素的全排列中的名次。

原理
X=a[n]*(n-1)!+a[n-1]*(n-2)!+...+a[i]*(i-1)!+...+a[1]*0!
其中, a[i]为整数，并且0 <= a[i] <= i, 0 <= i

例如有3个数（1，2，3），则其排列组合及其相应的康托展开值如下：

比如其中的 231：

想要计算排在它前面的排列组合数目（123，132，213），则可以转化为计算比首位小即小于2的所有排列「1 * 2！」，首位相等为2并且第二位小于3的所有排列「1 * 1！」，前两位相等为23并且第三位小于1的所有排列（0 * 0！）的和即可，康托展开为：1 * 2！+1 * 1+0 * 0=3。
所以小于231的组合有3个，所以231的名次是4。

康托展开
再举个例子说明。
在（1，2，3，4，5）5个数的排列组合中，计算 34152的康托展开值。

首位是3，则小于3的数有两个，为1和2，a[5]=2，则首位小于3的所有排列组合为 a[0]*(5-1)!
第二位是4，则小于4的数有两个，为1和2，注意这里3并不能算，因为3已经在第一位，所以其实计算的是在第二位之后小于4的个数。因此a[4]=2
第三位是1，则在其之后小于1的数有0个，所以a[3]=0
第四位是5，则在其之后小于5的数有1个，为2，所以a[2]=1
最后一位就不用计算啦，因为在它之后已经没有数了，所以a[1]固定为0
根据公式：
X = 2 * 4! + 2 * 3! + 0 * 2! + 1 * 1! + 0 * 0! = 2 * 24 + 2 * 6 + 1 = 61
所以比 34152 小的组合有61个，即34152是排第62。
具体代码实现如下：（假设排列数小于10个）

static const int FAC[] = {1, 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, 40320, 362880}; // 阶乘
int cantor(int *a, int n)
{
int x = 0;
for (int i = 0; i i) {
int smaller = 0; // 在当前位之后小于其的个数
for (int j = i + 1; j j) {
if (a[j] < a[i])
smaller++;
}
x += FAC[n - i - 1] * smaller; // 康托展开累加
}
return x; // 康托展开值
}

逆康托展开
一开始已经提过了，康托展开是一个全排列到一个自然数的双射，因此是可逆的。即对于上述例子，在（1，2，3，4，5）给出61可以算出起排列组合为 34152。由上述的计算过程可以容易的逆推回来，具体过程如下：

用 61 / 4! = 2余13，说明a[5]=2,说明比首位小的数有2个，所以首位为3。
用 13 / 3! = 2余1，说明a[4]=2，说明在第二位之后小于第二位的数有2个，所以第二位为4。
用 1 / 2! = 0余1，说明a[3]=0，说明在第三位之后没有小于第三位的数，所以第三位为1。
用 1 / 1! = 1余0，说明a[2]=1，说明在第二位之后小于第四位的数有1个，所以第四位为5。
最后一位自然就是剩下的数2啦。
通过以上分析，所求排列组合为 34152。
具体代码实现如下：（假设排列数小于10个

static const int FAC[] = {1, 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, 40320, 362880}; // 阶乘
//康托展开逆运算
void decantor(int x, int n)
{
vector<int> v; // 存放当前可选数
vector<int> a; // 所求排列组合
for(int i=1;i<=n;i++)
v.push_back(i);
for(int i=m;i>=1;i--)
{
int r = x % FAC[i-1];
int t = x / FAC[i-1];
x = r;
sort(v.begin(),v.end());// 从小到大排序
a.push_back(v[t]); // 剩余数里第t+1个数为当前位
v.erase(v.begin()+t); // 移除选做当前位的数
}
}

应用
应用最多的场景也是上述讲的它的特性。

给定一个自然数集合组合一个全排列，所其中的一个排列组合在全排列中从小到大排第几位。
在上述例子中，在（1，2，3，4，5）的全排列中，34152的排列组合排在第62位。

反过来，就是逆康托展开，求在一个全排列中，从小到大的第n个全排列是多少。
比如求在（1，2，3，4，5）的全排列中，第62个排列组合是34152。[注意具体计算中，要先 -1 才是其康托展开的值。]

另外康托展开也是一个数组到一个数的映射，因此也是可用于hash，用于空间压缩。比如在保存一个序列，我们可能需要开一个数组，如果能够把它映射成一个自然数， 则只需要保存一个整数，大大压缩空间。比如八数码问题。