cdr怎么算曲线周长_椭圆没有周长？！

平面椭圆&＃xff0c;一个神奇的图形。

小时候的我&＃xff0c;觉得椭圆就是一个普普通通的图形。直到我上了高中&＃xff0c;接触了圆锥曲线&＃xff0c;经历了一番摧残之后&＃xff0c;我觉得我似乎认清了椭圆的真面目。而现在&＃xff0c;我又碰到了椭圆积分&＃xff0c;才发现我真的太天真了......所以&＃xff0c;我现在对椭圆充满敬畏之情&＃xff0c;不知道何时又会碰到与之有关的更为高深的知识。下面我们就从椭圆的周长开始&＃xff0c;慢慢揭开椭圆积分的神秘面纱......

1. 问题的引入&＃xff1a;椭圆的周长

如果我没记错的话求平面曲线的弧长应该是导数的基本应用之一吧。首先&＃xff0c;我们来回忆一下计算平面曲线弧长的公式。

设一连续可微的平面曲线

的参数方程为&＃xff1a;

我们取这个曲线

上的一段微元并记作

。有勾股定理可得&＃xff1a;

而&＃xff1a;

带入

的表达式有&＃xff1a;

两边同时积分可得&＃xff1a;

这就是有关参数方程的弧长公式了。我们先小试牛刀&＃xff0c;计算一下圆的周长。

我们知道&＃xff0c;圆的标准参数方程是&＃xff08;其中

为圆的半径&＃xff09;&＃xff1a;

则&＃xff1a;

代入弧长公式有&＃xff1a;

一切过程都十分顺利&＃xff0c;那我们再来看看椭圆&＃xff1a;

椭圆的标准参数方程大家肯定也不会陌生&＃xff08;其中

为半长轴长&＃xff0c;

为半短轴长&＃xff09;&＃xff1a;

我们仅计算椭圆在第一象限的部分的弧长&＃xff0c;之后在乘以

就好了。但是第一象限部分的参数的取值范围会有变化&＃xff0c;即在第一象限中

。参数方程的导数为&＃xff1a;

代入到弧长公式中得到&＃xff1a;

直到现在&＃xff0c;仍一切顺利&＃xff0c;我们在化简一下看看&＃xff1a;

......嗯&＃xff1f;这玩意怎么处理&＃xff1f;到这一步会发现根号完全去不掉&＃xff0c;原函数也找不到。到此&＃xff0c;本文结束。

嘿嘿&＃xff0c;开个玩笑。聪明的数学家们是不可能就此罢休的&＃xff0c;于是他们又开始将上面的式子进一步化简&＃xff1a;

其中&＃xff1a;

叫做椭圆的

式还可做变量代换&＃xff1a;

则&＃xff1a;

则有变量代换后的积分&＃xff1a;

还可以写的更有强迫症一点&＃xff1a;

到现在&＃xff0c;椭圆积分的雏形已经出现了。

2. 椭圆积分的诞生

经过

等数学家的研究&＃xff0c;椭圆积分的知识体系渐渐完善&＃xff0c;直到

的出现彻底彻底完善了椭圆积分的知识体系。

我们先观察

式&＃xff0c;这个式子是椭圆周长的积分公式&＃xff0c;而它可以被拆成两部分&＃xff1a;

我们将拆开后的第一部分拿出来&＃xff0c;并去掉积分上下限和系数得到不定积分&＃xff1a;

再将第二部分拿出来&＃xff0c;去掉系数和积分上下限得到另一个不定积分&＃xff1a;

另外还有个一个不定积分&＃xff1a;

这三个不定积分便是

所总结得到的。若将上面的三个不定积分做变量代换&＃xff1a;

则&＃xff1a;

&＃xff08;这个我不知道怎么来的...&＃xff09;

上面的

分别叫做

第一类&＃xff0c;第二类&＃xff0c;第三类椭圆积分。

之后

又定义了三类

椭圆积分&＃xff0c;是将

椭圆积分里面的

换回

得到的&＃xff0c;即&＃xff1a;

参数

叫做椭圆积分的模。

特别的&＃xff0c;当

或

时&＃xff0c;这三类椭圆积分都称为

完全

椭圆积分&＃xff1a;

完全

椭圆积分&＃xff1a;

3. 椭圆的周长公式

椭圆并非没有周长&＃xff0c;只不过没有精确值罢了。对于其周长公式&＃xff0c;是一个无穷级数的形式&＃xff1a;

其中&＃xff1a;

为半长轴长&＃xff0c;

为椭圆的离心率。这个级数是由第二类椭圆积分展开所得到的。&＃xff08;可惜我不会展开&＃xff09;。可见&＃xff0c;当离心率为零时&＃xff0c;级数退化为圆的周长公式。

当然&＃xff0c;椭圆的周长公式有几个近似公式&＃xff1a;

• 利用算数平均值近似&＃xff1a;&＃xff08;精度较低&＃xff09;

• 利用平方均值近似&＃xff1a;&＃xff08;精度一般&＃xff09;

• 近似公式&＃xff1a;&＃xff08;精度很高&＃xff09;

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