「自控原理」3.3稳定性与稳态误差、时域校正

本节介绍稳定性分析的原理以及代数稳定性判据&＃xff08;劳斯判据&＃xff09;
本节介绍系统稳态误差的定义及计算方法
本节介绍时域校正方法

以下内容&＃xff0c;均针对线性系统

稳定性的定义&＃xff1a;
在扰动作用下系统偏离了原来的平衡状态&＃xff0c;如果扰动消除后&＃xff0c;系统能够以足够的准确度恢复到原来的平衡状态&＃xff0c;则系统是稳定的。否则系统不稳定。

稳定的充要条件与必要条件

充要条件

扰动发生后要求回到原来的平衡状态&＃xff0c;也就是单位脉冲响应为0。&＃xff08;认为单位脉冲为典型扰动输入&＃xff09;







lim


⁡




t


→


∞




k


(


t


)


&＃61;


0



\lim \limits_{t\rightarrow \infty}k(t)&＃61;0


t→∞lim​k(t)&＃61;0







c


i




c_i


ci​是




s


&＃61;


−



p


i




s&＃61;-p_i


s&＃61;−pi​处的留数。因此






lim


⁡




t


→


∞




k


(


t


)


&＃61;


0



\lim \limits_{t\rightarrow \infty}k(t)&＃61;0


t→∞lim​k(t)&＃61;0的充要条件是&＃xff1a;特征根具有负实部&＃xff0c;也就是系统的闭环极点全部位于左半s平面

必要条件

控制系统稳定的必要条件是&＃xff1a;特征方程的各项系数具有相同的符号&＃xff0c;且都不为0
在计算代数稳定判据之前可以先行做初步判断

劳斯判据-Routh

列出劳斯表&＃xff1a;

特征方程各项按照幂次从高到低排序&＃xff0c;劳斯表第一行是奇数项&＃xff08;第1&＃xff0c;3&＃xff0c;5&＃xff0c;7&＃xff0c;9项&＃xff09;系数。第二行是偶数项&＃xff08;第2&＃xff0c;4&＃xff0c;6&＃xff0c;8&＃xff0c;10项&＃xff09;系数。
之后第x行的第y个元素等于





−



1



第


x


−


1


行的第一个元素




⋅


第


x


−


1


和


x


−


2


行的第


1


和第


i


&＃43;


1


个元素组成的行列式



-\frac{1}{第x-1行的第一个元素}\cdot 第x-1和x-2行的第1和第i&＃43;1个元素组成的行列式


−第x−1行的第一个元素1​⋅第x−1和x−2行的第1和第i&＃43;1个元素组成的行列式
计算到最后s¹、s⁰的时候&＃xff0c;劳斯表一行只有一个元素。可以通过这个检查是否计算正确。

劳斯判据 &＃xff1a;劳斯表第一列元素符号改变次数&＃61;特征方程在右半平面内的根的个数。
因此&＃xff0c;当劳斯表第一列元素具有相同的符号&＃xff0c;则系统稳定。

在计算时&＃xff0c;某一行元素同时乘或除某一个数不影响最终的稳定性结论&＃xff0c;因此遇到分数或者过大的数&＃xff0c;可以先去分母\约分处理以简化运算。&＃xff08;后面例题为了直观并没有这样操作&＃xff09;

例题

1. 用劳斯判据判断系统是否稳定
   
   判断稳定性的题&＃xff0c;如果没有特殊要求一定先看是否满足必要条件。如果过不满足那么可以直接结论不稳定。
2. 用劳斯判据确定参数范围
   
   

两种特殊情况

某行的第一列为0&＃xff0c;但这一行不全为0

使用一个很小的正数$\epsilon$代替0&＃xff0c;继续运算

某一行全部为0

用上一行元素构建辅助方程&＃xff0c;对s求导一次&＃xff0c;用新方程的系数代替全零行的系数继续运算

出现全零行的一定是奇次行。

出现全零行有可能是&＃xff1a;特征方程有以原点对称的实根、以原点对称的虚根、以虚轴对称的共轭复根。具体是哪一种&＃xff0c;需要令辅助方程&＃61;0&＃xff0c;求解。

问题辨析

1. 系统稳定性是系统自身的属性&＃xff0c;与输入的类型、形式无关
2. 系统是否稳定&＃xff0c;只取决于闭环极点&＃xff0c;与闭环零点无关。&＃xff08;闭环零点影响动态性能&＃xff0c;但不影响稳定性。闭环极点决定系统稳定性&＃xff0c;也影响动态性能&＃xff09;
   补&＃xff1a;增加闭环零点&＃xff1a;峰值时间靠前&＃xff0c;超调量增大
   增加闭环极点&＃xff1a;峰值时间靠后&＃xff0c;超调量减小
3. 闭环系统稳定性与其开环是否稳定无关

稳态误差是系统的稳态性能指标&＃xff0c;是对系统控制精度的度量。
误差包括永久性误差&＃xff0c;比如由于参数漂移、元件老化等带来的误差&＃xff0c;还有原理性误差&＃xff0c;即由于系统结构、参数引入的误差。这里只讨论原理性误差
通常把阶跃输入下没有原理性稳态误差的系统称为无差系统&＃xff0c;反之称为有差系统

误差与稳态误差的定义

1. 按输入端定义的误差
   
2. 按输出端定义的误差
   
   两种定义本质上是一样的&＃xff0c;如果再进一步推导&＃xff0c;就有&＃xff1a;
   
   
   
   
   
   
   E
   
   
   ′
   
   
   
   (
   
   
   s
   
   
   )
   
   
   &＃61;
   
   
   
   
   
   E
   
   
   (
   
   
   s
   
   
   )
   
   
   
   
   H
   
   
   (
   
   
   h
   
   
   )
   
   
   
   
   
   
   E&＃39;(s)&＃61;\displaystyle \frac{E(s)}{H(h)}
   
   
   E′(s)&＃61;H(h)E(s)​

以下的分析都是基于输入端定义的误差进行的。

3. 稳态误差
   误差传递函数&＃xff1a;
   
   
   
   
   
   Φ
   
   
   e
   
   
   
   &＃61;
   
   
   
   
   
   E
   
   
   (
   
   
   s
   
   
   )
   
   
   
   
   R
   
   
   (
   
   
   s
   
   
   )
   
   
   
   
   
   
   \Phi_e&＃61;\displaystyle \frac{E(s)}{R(s)}
   
   
   Φe​&＃61;R(s)E(s)​
   
   
   
   
   
   e
   
   
   (
   
   
   t
   
   
   )
   
   
   &＃61;
   
   
   
   L
   
   
   
   −
   
   
   1
   
   
   
   
   [
   
   
   E
   
   
   (
   
   
   s
   
   
   )
   
   
   ]
   
   
   &＃61;
   
   
   r
   
   
   (
   
   
   t
   
   
   )
   
   
   −
   
   
   c
   
   
   (
   
   
   t
   
   
   )
   
   
   
   e(t)&＃61;\mathscr{L}^{-1}[E(s)]&＃61;r(t)-c(t)
   
   
   e(t)&＃61;L−1[E(s)]&＃61;r(t)−c(t)
   由于系统输出分为暂态分量和稳态分量&＃xff0c;因此误差也分为暂态分量和稳态分量&＃xff1a;
   
   
   
   
   
   e
   
   
   (
   
   
   t
   
   
   )
   
   
   &＃61;
   
   
   
   e
   
   
   
   t
   
   
   s
   
   
   
   
   (
   
   
   t
   
   
   )
   
   
   &＃43;
   
   
   
   e
   
   
   
   s
   
   
   s
   
   
   
   
   (
   
   
   t
   
   
   )
   
   
   
   e(t)&＃61;e_{ts}(t)&＃43;e_{ss}(t)
   
   
   e(t)&＃61;ets​(t)&＃43;ess​(t)
   ts->temporary state
   ss->stable state&＃xff0c;
   
   
   
   
   
   e
   
   
   
   s
   
   
   s
   
   
   
   
   &＃61;
   
   
   
   
   lim
   
   
   ⁡
   
   
   
   
   t
   
   
   →
   
   
   ∞
   
   
   
   
   e
   
   
   (
   
   
   t
   
   
   )
   
   
   &＃61;
   
   
   e
   
   
   (
   
   
   ∞
   
   
   )
   
   
   
   e_{ss}&＃61;\lim \limits_{t \rightarrow \infty}e(t)&＃61;e(\infty)
   
   
   ess​&＃61;t→∞lim​e(t)&＃61;e(∞)
   系统的稳态误差就是误差的稳态分量

计算稳态误差的一般方法

1. 判断系统稳定性「这一点非常重要&＃xff0c;因为只有对稳定的系统研究稳态误差才有意义」
2. 求误差传递函数「可以用梅逊公式快速得结果」
3. 用终值定理求稳态误差

来看一道例题&＃xff1a;

一般方法虽然实用但一般不会使用它。下面介绍静态误差系数法&＃xff1a;

静态误差系数法

构建如下的系统&＃xff1a;

开环传递函数




G


(


s


)


&＃61;



K



s


v





G


0



(


s


)



G(s)&＃61;\frac{K}{s^v}G_0(s)


G(s)&＃61;svK​G0​(s)
G₀化成尾1标准型所以K是开环增益
v是系统型别(就是一个分类标准&＃xff0c;v&＃61;0叫做0型&＃xff0c;v&＃61;1叫做1型)

仍然使用一般方法计算稳态误差。
根据不同的输入&＃xff0c;分别代入求解&＃xff0c;由此引出静态位置误差系数、静态速度误差系数、静态加速度误差系数的定义。

再根据不同的系统型别&＃xff0c;分别计算出三个静态误差系数:

再带回&＃xff0c;计算系统的稳态误差&＃xff1a;

有了这两个表&＃xff0c;就可以很方便的计算系统的误差了&＃xff0c;来看一道例题&＃xff1a;

例题2:

从这道例题里面可以看出&＃xff1a;按前馈补偿的复合控制方案可以提高系统的稳态精度

例题3:

从这道例题可以看出&＃xff1a;在主反馈口到干扰作用点之前的前向通道中提高增益、引入积分环节&＃xff0c;可以同时减小或消除输入和干扰作用下产生的稳态误差。。

例题4:

在这道例题里面&＃xff0c;我们一定注意&＃xff0c;在计算稳态误差等等性能指标之前&＃xff0c;一定确定系统是稳定的。尤其是这种需要自定义参数的题目。

动态误差系数法

静态误差系数法只能求出最终的误差稳态值e_ss。而使用动态误差系数法可以研究误差中的稳态分量e_s(t)随时间的变换规律

首先把误差传递函数展开&＃xff0c;称E(s)的泰勒展开为误差级数。





C


i



&＃61;



1



i


!





Φ


e



(


i


)




(


0


)



C_i&＃61;\frac{1}{i!}\Phi_e^{(i)}(0)


Ci​&＃61;i!1​Φe(i)​(0)&＃xff0c;称





C


i




C_i


Ci​为动态误差系数
按照定义来算的话&＃xff0c;





C


i



&＃61;



1



i


!





Φ


e



(


i


)




(


0


)



C_i&＃61;\frac{1}{i!}\Phi_e^{(i)}(0)


Ci​&＃61;i!1​Φe(i)​(0)但是这样的计算方法比较繁琐所以一般使用长除法&＃xff1a;

&＃xff08;将开环传递函数按升幂排列才能除出级数的形式&＃xff09;

这个问题需要注意的是&＃xff0c;即使稳态误差是无穷大&＃xff0c;控制系统仍然是可用的。比如导弹的控制系统&＃xff0c;导弹打出去几分钟就爆炸了&＃xff0c;那么只要在这几分钟之内误差满足要求就好了。

扰动作用下的稳态误差

之前的讨论是从输入端直接有输入时造成的干扰。而接下来单独讨论某一个特定的扰动作用下产生的稳态误差。

其实分析方法都是一样的&＃xff0c;使用的是动态误差系数法。不同在于传递函数变成了误差传递函数

校正&＃xff1a;采用适当的方式&＃xff0c;在系统中加入一些校正装置&＃xff0c;用以改善系统性能&＃xff0c;使系统满足指标要求。
校正装置&＃xff1a;结构和参数可调整的装置
校正方式&＃xff1a;串连校正、反馈校正、复合校正

时域校正不怎么常用&＃xff0c;了解即可

反馈校正

反馈的作用&＃xff1a;
局部正反馈可以提高环节增益

增加局部正反馈之后系统增益变大&＃xff0c;调节时间变长。

增加局部反馈之前&＃xff0c;系统不稳定。而增加这个反馈之后系统变得稳定&＃xff0c;也就是被校正了。

复合校正

复合校正就是串联校正加上反馈校正。串连校正前面没有讲过&＃xff0c;其实就是加一个环节。
看下面这个例题&＃xff1a;

在这道题里面&＃xff0c;G₁G₂属于前馈校正元件&＃xff0c;K₁是串连校正元件的增益&＃xff0c;





1


s




\frac{1}{s}


s1​是反馈校正元件。