微分的概念

微分

【定义】设函数 $y\&＃61;f(x)$ 在点x0x_0x0​的某一邻域内有定义&＃xff0c;如果函数的增量Δy&＃61;f(x0&＃43;Δx)−f(x0)\Delta y&＃61; f(x_0&＃43;\Delta x) - f(x_0)Δy&＃61;f(x0​&＃43;Δx)−f(x0​) 可以表示为
$$\Delta y\&＃61;A\Delta x\&＃43;o(\Delta x),(\Delta x\to 0)$$
其中$A$为不依赖于$\Delta x$ 的常数&＃xff0c;则称函数$f(x)$在点x0x_0x0​处可微&＃xff0c;称$A\Delta x$ 为函数 $f(x)$ 在点 x0x_0x0​处相应于自变量增量 $\Delta x$ 的微分&＃xff0c;记为$dy\&＃61;A\Delta x$.

【定理】 函数 $y\&＃61;f(x)$ 在点 x0x_0x0​ 处可微的充分必要条件是 $f(x)$ 在点 x0x_0x0​ 处可导&＃xff0c;且有
dy&＃61;f′(x0)Δx&＃61;f′(x0)dxdy &＃61; f&＃39;(x_0)\Delta x &＃61; f&＃39;(x_0) dx dy&＃61;f′(x0​)Δx&＃61;f′(x0​)dx
在点$x$处&＃xff0c;常记 dy&＃61;f′(x)dxdy &＃61; f&＃39;(x)dxdy&＃61;f′(x)dx.

导数与微分的几何意义

1. 导数的几何意义
   导数 f′(x0)f&＃39;(x_0)f′(x0​) 在几何上表示曲线 $y\&＃61;f(x)$ 在点(x0,f(x0))(x_0,f(x_0))(x0​,f(x0​)) 处切线的斜率。
   如果函数 $f(x)$ 在点 x0x_0x0​ 处可导&＃xff0c;则曲线 $y\&＃61;f(x)$ 在点 (x0,f(x0))(x_0, f(x_0))(x0​,f(x0​)) 处必有切线&＃xff0c;其切线的方程为
   y−f(x0)&＃61;f′(x0)(x−x0)y-f(x_0) &＃61; f&＃39;(x_0)(x-x_0) y−f(x0​)&＃61;f′(x0​)(x−x0​)
   如果f′(x)≠0f&＃39;(x)\neq 0f′(x)​&＃61;0&＃xff0c;则此曲线 $y\&＃61;f(x)$ 在点 (x0,f(x0))(x_0, f(x_0))(x0​,f(x0​)) 处的法线方程为
   y−f(x0)&＃61;−1f′(x0)(x−x0)y-f(x_0) &＃61; -\frac{1}{f&＃39;(x_0)}(x-x_0) y−f(x0​)&＃61;−f′(x0​)1​(x−x0​)
   如果f′(x0)&＃61;0f&＃39;(x_0)&＃61;0f′(x0​)&＃61;0&＃xff0c;则曲线 $y\&＃61;f(x)$ 在点 (x0,f(x0)(x_0, f(x_0)(x0​,f(x0​) 处的切线方程为 y&＃61;f(x0)y&＃61;f(x_0)y&＃61;f(x0​)&＃xff0c; 即曲线在点 (x0,f(x0))(x_0, f(x_0))(x0​,f(x0​)) 处有水平切线。

   【注】 若函数 $f(x)$ 在 x&＃61;x0x&＃61;x_0x&＃61;x0​ 处可导&＃xff0c;则曲线 $y\&＃61;f(x)$ 在点 (x0,f(x0))(x_0,f(x_0))(x0​,f(x0​))处有切线。反之则不然&＃xff0c;例如曲线y&＃61;x13y&＃61;x^{\frac{1}{3}}y&＃61;x31​ 在点 $(0,0)$ 处有切线 $x\&＃61;0$&＃xff08;y轴&＃xff09;&＃xff0c;但函数 f(x)&＃61;x13f(x) &＃61; x^{\frac{1}{3}}f(x)&＃61;x31​ 在 $x\&＃61;0$ 处不可导&＃xff08;f′(0)&＃61;∞f&＃39;(0)&＃61;\inftyf′(0)&＃61;∞&＃xff09;。

2. 微分的几何意义
   微分 dy&＃61;f′(x0)dxdy &＃61; f&＃39;(x_0)dxdy&＃61;f′(x0​)dx 表示曲线 $y\&＃61;f(x)$ 的切线上的增量
   Δy&＃61;f′(x0&＃43;Δx)−f(x0)\Delta y&＃61;f&＃39;(x_0&＃43;\Delta x) - f(x_0)Δy&＃61;f′(x0​&＃43;Δx)−f(x0​) 表示曲线 $y\&＃61;f(x)$上的增量。
   $\Delta y\&＃61;dy\&＃43;o(\Delta x)$

连续、可导、可微之间的关系