漫步数学分析四——集合内部

定义2 对任何集合 A⊂Rn ，点 x∈A ，如果有一个开集 U 使得 x∈U⊂A ，那么就成该点为 A 的一个内点。(等价的描述为：有一个 ε>0 使得 D(x,ε)⊂A ) A 内部就是所有内点组成的集合并用 int(A) 表示，这个集合可能是空的。

例如，单点的内部是空的，单位圆(包含边界)的内部是不包含边界的单位圆。

我们还可以用不同的方式来描述单位圆。事实上 A 的内部是 A 所有开子集的并，那么根据定理2 int(A) 是开的，因此 int(A) 是 A 最大的开子集，所以如果 A 没有开子集，则 int(A)=∅ 。另外，当且仅当 int(A)=A 时 A 是开集。

例1： 令 S={(x,y)∈R2|0<x≤1} ，求 int(S) 。

解： 为了确定内点，我们仅仅需要确定这样的点，他们的 ε 邻域含在 S 中。观察图6可知，这样的点就是满足 0<x<1 的 (x,y) ，所以 int(S)={(x,y)|0<x<1} 。

例2： int(A)∪int(B)=int(A∪B) 成立吗？

解： 答案为否。考虑实数轴， A=[0,1] , B=[1,2] ，那么 int=(0,1) , int=(1,2) ，所以 int(A) ∪int(B) =(0,1)∪(1,2)= (1,2)∖{1} ，而 int(A∪B)=int[0,2]=(0,2) 。