的唯一性_常微分方程笔记（二）解的存在唯一性定理

Picard定理

上次的文章中我们就提到了

方程一般无法使用初等积分法去求解&＃xff0c;一个很简单的例子是下面这个

即使形式上这样简单的方程也不存在初等求解的方法.那我们就考虑&＃xff0c;这种方程是否有解呢&＃xff1f;于是就有了

存在唯一性定理.

首先我们先介绍

条件&＃xff1a;设函数

在区域

内满足不等式

其中常数

.则称函数

在区域

内对

满足

条件

定理1.(

定理) 设初值问题

其中

在矩形区域

内连续&＃xff0c;且对

满足

条件.则

在区间

上有并且只有一个解&＃xff0c;其中常数

该定理的证明分为以下五步&＃xff08;仅简要叙述&＃xff09;&＃xff1a;

1. 初值问题
   等价于积分方程
2. 迭代构造
   序列
3. 证明该序列一致收敛&＃xff0c;考虑级数
   利用
   判别法即可证明其一致收敛
4. 证明该序列的极限是
   的解.等式两边取极限即可
5. 证明唯一性.假设
   存在两个解&＃xff0c;做差证明极限为

对于一般的微分方程

只要能够判别函数

在某个区域

内连续并且对

有连续的偏导数&＃xff08;或满足

条件&＃xff09;&＃xff0c;我们就可以断言在区域

内经过每一点有并且仅有一个解.例如方程

&＃xff0c;我们就很容易判别它在

上经过每一点有且仅有一个解.

下面介绍一个比

更弱的条件&＃xff1a;

条件&＃xff1a;

设函数

在区域

内连续&＃xff0c;而且满足不等式

其中

是

的连续函数&＃xff0c;并且瑕积分

其中

为常数.则称

在

内对

满足

条件.

容易看出

条件是

条件的特例&＃xff0c;因为

满足上述要求.

定理2.(

定理) 设

在区域

内对

满足

条件&＃xff0c;则微分方程

在

内经过每一点的解都是唯一的.

我们用一道例题&＃xff0c;巩固一下

序列的构造过程

例1. 试求初值问题

的

序列&＃xff0c;并由此取极限求解.

【解】

故

所以方程的解为

Peano存在定理

定理3 设函数

在矩形区域

内连续&＃xff0c;则初值问题

在区间

上至少有一个解

&＃xff0c;这里矩形区域

和正数

的定义同

定理.

为了证明这个定理&＃xff0c;我们首先引入欧拉折线的定义.先将区间

分为

等分&＃xff0c;每份的长度为

&＃xff0c;则分点为

然后从初始点

构造

序列&＃xff0c;即

由此我们就得到了一条连续的折线

称

为初值问题

的

此外我们还需要

引理&＃xff1a;设函数序列

在有限闭区间

上式一致有界和等度连续的&＃xff0c;则可以选取它的一个子序列

使它在区间

上是一致收敛的.

由此我们知道证明

存在定理的方法&＃xff0c;取欧拉折线序列证明其一致收敛&＃xff0c;再证明收敛的极限函数是微分方程的解即可.

解的延伸

在之前的定理中&＃xff0c;我们只讨论了局部范围内的性质&＃xff0c;现在我们要讨论这解在大范围内的存在性.

定理4 设

为区域

内任一点&＃xff0c;并设

为微分方程

经过

点的任一条积分曲线&＃xff0c;则积分曲线

将在区域

内延伸到边界.

首先我们设微分方程经过

的解

有如下表达式&＃xff1a;

其中

表示

的

在

右侧的延伸情况&＃xff0c;令

&＃xff0c;证明了

既不可能是有限闭区间&＃xff0c;也不可能是有限半开区间&＃xff0c;于是

必为

&＃xff0c;从而积分曲线

在

点的右侧将延伸到无穷远处&＃xff1b;同理可证&＃xff0c;其在

点的左侧也将延伸到无穷远处.

由定理1和定理4立即得到

推论 设函数

在区域

内连续&＃xff0c;而且对

满足局部

条件&＃xff0c;则微分方程

经过

内任一点

存在唯一的积分曲线

&＃xff0c;并且

在

内延伸到边界.

参考

1. ^请大家一起来解这个微分方程 https://zhuanlan.zhihu.com/p/81640766