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gcdexgcd斐蜀定理的求解方法及应用

本文介绍了求解gcdexgcd斐蜀定理的迭代法和递归法,并解释了exgcd的概念和应用。exgcd是指对于不完全为0的非负整数a和b,gcd(a,b)表示a和b的最大公约数,必然存在整数对x和y,使得gcd(a,b)=ax+by。此外,本文还给出了相应的代码示例。

gcd就是求a和b最大公约数,一般方法就是递推。不多说,上代码。

一.迭代法

int gcd(int m, int n)
{
while(m>0) { int c = n % m; n = m; m = c; } return n;
}

二.递归法

int Gcd(int a, int b)
{
if(b == 0)return a;return Gcd(b, a % b);
}

但exgcd是个什么玩意???

百度了一下,百科这么讲的:

对于不完全为 0 的非负整数 a,b,gcd(a,b)表示 a,b 的最大公约数,必然

存在整数对 x,y ,使得 gcd(a,b)=ax+by。

好像很好理解的样子,百度还给了个代码

int gcd(int a,int b,int &x,int &y){if (b==0){x=1,y=0;return a;}int q=gcd(b,a%b,y,x);y-=a/b*x;return q;
}

???什么玩意???

于是我又找了一段证明:

证明:当 b=0 时,gcd(a,b)=a,此时 x=1 , y=0当 b!=0 时,设 ax1+by1=gcd(a,b)=gcd(b,a%b)=bx2+(a%b)y2又因 a%b=a-a/b*b则 ax1+by1=bx2+(a-a/b*b)y2ax1+by1=bx2+ay2-a/b*by2ax1+by1=ay2+bx2-b*a/b*y2ax1+by1=ay2+b(x2-a/b*y2)解得 x1=y2 , y1=x2-a/b*y2因为当 b=0 时存在 x , y 为最后一组解而每一组的解可根据后一组得到所以第一组的解 x , y 必然存在得证

 于是刚才那段代码返回的是a和b的gcd

void exgcd(int a,int b)
{
if (b){exgcd(b,a%b);int k=x;x=y;y=k-a/b*y; //k就是上一组的x-- y1 = x2 - a/b*y2;}else y=(x=1)-1;
}

还有一个斐蜀定理。。。

若a,b是整数,且(a,b)=d,那么对于任意的整数x,y,ax+by都一定是d的倍数,特别地,一定存在整数x,y,使ax+by=d成立。

它的一个重要推论是:a,b互质的充要条件是存在整数x,y使ax+by=1.

转:https://www.cnblogs.com/DukeLv/p/8406940.html



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