CS184.1X计算机图形学导论（第三讲）

第一单元&＃xff08;介绍关于变换的数学知识&＃xff09;

L3V1&＃xff1a;变换1&＃xff1a;基本二维变换

模型坐标系&＃xff0c;世界坐标系

1.缩放

Scale(规模&＃xff0c;比例)

Sx表示在x方向上放大的倍数&＃xff0c;Sy表示在y方向上放大的倍数,因此X坐标乘以Sx&＃xff0c;Y坐标乘以Sy

缩放的你操作就是用x坐标和Y坐标分别乘以Sx和Sy的倒数。因此&＃xff0c;如果放大了2倍&＃xff0c;则其逆操作就是放大1/2倍&＃xff0c;就是Sx和Sy的倒数

缩放矩阵是一个对角矩阵&＃xff0c;将坐标乘以对应的缩放系数即可。

2.错切

Y坐标不发生变化&＃xff0c;因此矩阵的第二行仍然是[0  1]&＃xff0c;乘起来仍然是y

x的值等于之前的x的值加上a乘以y坐标的值&＃xff0c;x&＃96;&＃61;x&＃43;ay

这里为什么乘以a&＃xff0c;因为这里是假设单位长度1&＃xff0c;错切的变化量依赖于y坐标的值

错切矩阵为&＃xff0c;错切的逆矩阵就是把a变成-a&＃xff0c;错切公式不变。

3.旋转

该矩阵使得x方向和y方向上的变换叠加&＃xff0c;相当于先在x方向上旋转再在y方向上旋转

二维的旋转变换,先在x轴上或先在y轴上可以交换顺序&＃xff0c;但是三维不可以

因为数学表示在电脑上书写比较麻烦&＃xff0c;故在纸上写下再拍照上传&＃xff0c;得出旋转之后坐标的矩阵表示

课后测试题&＃xff1a;

错误原因&＃xff1a;在百度的时候没有加度&＃xff0c;所以造成了错误&＃xff0c;不用像答案把θ进行变换。

L3V2&＃xff1a;变换1&＃xff1a;组合变换

矩阵变换顺序不可交换&＃xff01;

组合变换矩阵的逆矩阵&＃xff1a;最后一个变换的需要最先逆

对于旋转矩阵来说&＃xff0c; R(A&＃43;B)&＃61;R(A)R(B)&＃xff0c;所以R(θ)&＃61;R(1)R(2)...R(179)R(180)&＃61;R(1&＃43;2&＃43;...&＃43;180)&＃61;R(((1&＃43;180)*180)/2)&＃61;R(16290),需要将旋转角再模360 (因为旋转x 度等价于旋转 x&＃43;360度)。 因此, 这里的旋转角就是 16290 mod 360&＃61;90 度

L3V3&＃xff1a;变换1&＃xff1a;三维旋转

旋转矩阵是正交的&＃xff0c;R的转置乘以R等于单位矩阵E

三维绕哪个轴旋转&＃xff0c;那个轴的坐标不变&＃xff0c;即可得出结论&＃xff08;跟二维推导过程一样&＃xff09;

1>绕Z轴

2>绕X轴

3>绕Y轴&＃xff08;注意这里的形式稍有不同&＃xff01;&＃xff01;&＃xff09;三个矩阵均正交&＃xff0c;乘以对应的转置矩阵为单位矩阵

点乘和叉乘的区别&＃xff1a;

1.

点乘是一个数&＃xff0c;公式&＃xff1a;a . b &＃61; |a| * |b| * cosθ 
点乘又叫向量的内积、数量积&＃xff0c;是一个向量和它在另一个向量上的投影的长度的乘积&＃xff1b;
点乘反映着两个向量的“相似度”&＃xff0c;两个向量越“相似”&＃xff0c;它们的点乘越大。

2.

a*b &＃61; |a| * |b| * sinθ ,结果是一个向量&＃xff0c;遵循右手法则

旋转可以写成一般矩阵的形式&＃xff0c;即某个矩阵M乘以b,下边是一般轴角表示的旋转公式&＃xff0c;推导过程比较复杂

罗德里格斯旋转公式&＃xff1a;&＃xff08;记住&＃xff09;&＃xff1f;&＃xff1f;&＃xff1f;这里不大懂

反向旋转轴实际上将绕 a⃗ 的逆时针旋转改变为绕a⃗ 的顺时针旋转。因此&＃xff0c;绕−a⃗ 的逆时针旋转和绕a⃗ 的顺时针旋转等效。