一、题目描述
描述:
N位同学站成一排,音乐老师要请其中的(N-K)位同学出列,使得剩下的K位同学不交换位置就能排成合唱队形。
合唱队形是指这样的一种队形:设K位同学从左到右依次编号为1, 2, …, K,他们的身高分别为T1, T2, …, TK,则他们的身高满足T1
你的任务是,已知所有N位同学的身高,计算最少需要几位同学出列,可以使得剩下的同学排成合唱队形。
输入:
第一行整数 N,表示同学的总数
第二行整数数组,空格隔开,表示 N 位同学身高
输出:
最少需要几位同学出列
样例输入:
8
186 186 150 200 160 130 197 20012
样例输出:
41
二、最长递增子序列
最长递增子序列(Longest Increasing Subsequence)是指找到一个给定序列的最长子序列的长度,使得子序列中的所有元素单调递增。
例如:{ 3,5,7,1,2,8 } 的 LIS 是 { 3,5,7,8 },长度为 4。
解法一:转化为求最长公共子序列
其实可以把 求最长递增子序列问题 转化为 求最长公共子序列的问题。
设数组 { 3, 5, 7, 1, 2, 8 } 为 A
对数组 A 排序,排序后的数组为 B = { 1, 2, 3, 5, 7, 8 }。
于是,求数组 A 的最长递增子序列,就是求数组 A 与数组 B 的最长公共子序列。
最长公共子序列的求法见《动态规划DP》。本方法的时间复杂度是
Θ(nlgn)+Θ(n2)=Θ(n2)
解法二:动态规划法
虽然解法一也是使用动态规划,但是与解法一不同的是,解法二不进行转化,而是直接在原问题上采用动态规划法。
最优子结构:
对于长度为 N 的数组 A[N]={a0,a1,a2,…,an1},假设我们想求以 ai 结尾的最大递增子序列长度,设为L[i],那么
L[i]&#61;max(L[j])&#43;1,1,where j<i and A[j]<A[i]otherwise
也就是 j 的范围是 0 到 i–1。这样&#xff0c;想求 ai 结尾的最大递增子序列的长度&#xff0c;我们就需要遍历 i 之前的所有位置 j&#xff08;0到 i-1&#xff09;&#xff0c;找出A[j]<A[i]&#xff0c;计算这些 j 中&#xff0c;能产生最大 L[j] 的 j&#xff0c;之后就可以求出 L[i]。之后对每一个A[N]中的元素都计算以他们各自结尾的最大递增子序列的长度&#xff0c;这些长度的最大值&#xff0c;就是我们要求的问题——数组A的最大递增子序列的长度。
重叠子问题&#xff1a;
根据上述推导式采用递归实现的话&#xff0c;有些子问题会被计算很多次。
动态规划法&#xff1a;
综上所述&#xff0c;LIS 问题具有动态规划需要的两个性质&#xff0c;可以使用动态规划求解该问题。设数组 A &#61; { 3&#xff0c;5&#xff0c;7&#xff0c;1&#xff0c;2&#xff0c;8 }&#xff0c;则&#xff1a;
具体的打表方式如下&#xff1a;
初始化对角线为 1&#xff1b;
对每一个 i&#xff0c;遍历 j&#xff08;0 到 i-1&#xff09;&#xff1a;
若
A[i] <&#61; A[j]
&#xff0c;置 1。若
A[i] > A[j]
&#xff0c;取第 j 行的最大值加 1。
打完表以后&#xff0c;最后一行的最大值就是最长递增子序列的长度。由于每次都进行遍历&#xff0c;故时间复杂度还是 Θ(n2) 。
通常在实现的时候我们不会创建一整个表&#xff0c;因为这样太浪费空间。由打表的过程可知&#xff0c;我们只需要一个一维数组来保存每一行的最大值即可&#xff1a;
// LIS 的动态规划方式实现#include
{ /* 一维数组 */int* lis &#61; new int[len]; /* 初始化为1 */for (int i &#61; 0; i < len; &#43;&#43;i) lis[i] &#61; 1; /* 计算每个i对应的lis最大值&#xff0c;即打表的过程 */for (int i &#61; 1; i < len; &#43;&#43;i) for (int j &#61; 0; j < i; &#43;&#43;j) // 0到i-1if ( A[i] > A[j] && lis[i] < lis[j]&#43;1)lis[i] &#61; lis[j] &#43; 1; // 更新/* 数组中最大的那个&#xff0c;就是最长递增子序列的长度 */int maxlis &#61; 0; for (int i &#61; 0; i < len; &#43;&#43;i) if ( maxlis < lis[i] )maxlis &#61; lis[i]; delete [] lis; return maxlis;
}int main()
{ int arr[] &#61; {3, 5, 7, 1, 2, 8}; cout << getLISLength(arr, 6) << endl; return 0;
}
解法三&#xff1a;Θ(nlgn)的方案
本解法的具体操作如下&#xff1a;
开一个栈&#xff0c;依次读取数组元素 x 与栈顶元素 top&#xff1a;
如果 x > top&#xff0c;将 x 入栈&#xff1b;
如果 x
遍历结束之后&#xff0c;最长递增序列长度即为栈的大小。
int getLISLength(int A[], int len) 由于使用了二分搜索&#xff0c;故时间复杂度变成了 Θ(nlgn)。 特别注意的是&#xff1a;本方法只能用于求最长递增子序列的长度&#xff0c;千万不要以为栈中的序列就是最长递增子序列&#xff1a; 例一&#xff1a;原序列为1&#xff0c;5&#xff0c;8&#xff0c;3&#xff0c;6&#xff0c;7 例二&#xff1a;原序列为1&#xff0c;5&#xff0c;8&#xff0c;3 根据题意可知&#xff0c;我们需要求出一个“中间点”&#xff0c;使得其左边的【最长递增子序列】和其右边的【最长递减子序列】之和最大。 #include 转自&#xff1a;http://blog.csdn.net/lisonglisonglisong/article/details/45241965
{ vector
栈为1&#xff0c;5&#xff0c;8&#xff0c;此时读到3&#xff0c;用3替换5&#xff0c;得到1&#xff0c;3&#xff0c;8&#xff1b; 再读6&#xff0c;用6替换8&#xff0c;得到1&#xff0c;3&#xff0c;6&#xff1b;再读7&#xff0c;得到最终栈为1&#xff0c;3&#xff0c;6&#xff0c;7。最长递增子序列为长度4。
则最终栈为1&#xff0c;3&#xff0c;8。明显这不是最长递增子序列&#xff01;三、解题报告
using namespace std;int main()
{ int len;cin >> len; int *A &#61; new int[len]; for(int i&#61;0; i