分数加减乘除混合运算带答案_一位高中数学教师眼中的“数学运算”（二）

数学不是沿着清理干净的公路谨慎行进的&＃xff0c;而是进入一个陌生的荒野的旅行&＃xff0c;在那里探险者往往会迷失方向。撰史者应该注意这样的严酷事实&＃xff1a;绘就的是地图&＃xff0c;而真正的探险者却已消失在别处。 ——W﹒S﹒安格林

数学思维

1. 开方

开方(rooting)&＃xff0c;指求一个数的方根的运算&＃xff0c;为乘方的逆运算&＃xff0c;在中国古代也指求二次及高次方程(包括二项方程)的正根。

一个数有多少个方根&＃xff0c;这个问题既与数的所在范围有关&＃xff0c;也与方根的次数有关。

在实数范围内&＃xff0c;任一实数的奇数次方根有且仅有一个&＃xff0c;&＃xff1b;正实数的偶数次方根是两个互为相反数的数&＃xff1b;负实数不存在偶数次方根&＃xff1b;零的任何次方根都是零。在复数范围内&＃xff0c;无论n是奇数或偶数&＃xff0c;任一个非零的复数的 n次方根都有n个。

如果复数z&＃xff1d;r(cosθ&＃xff0b; i sinθ)&＃xff0c;r&＃xff1d;&＃xff5c;z&＃xff5c;&＃xff0c;那么它的n个n次方根是&＃xff1a;

1. 分数指数幂

分数指数幂是一个数的指数为分数&＃xff0c;分数指数幂是根式的另一种表示形式。分数指数幂亦即是有理数指数幂&＃xff0c;同理还可以推广到实数指数幂。

讨论题&＃xff1a;为什么要规定a>o?

开放运算只是是指数幂的一个逆运算(a>0,n是整数)&＃xff0c;

它还有一个逆运算是对数运算。

1. 对数

3.1对数与指数互化

幂运算的指数逆运算是对数运算&＃xff1a;底数不变&＃xff0c;幂指数变对数&＃xff0c;幂变真数。

讨论题&＃xff1a;你知道为什么要规定(a>0,且≠1)与C>0吗&＃xff1f;

3.2指数幂运算法则与对数运算法则互化(a>0且≠1&＃xff0c;M,N>0,m,n是整数)

4.对数的发展史

4.1初次出现

对此问题论述最早的当数中国的《九章算术》&＃xff0c;其中第195题曰&＃xff1a;“今有蒲生一日&＃xff0c;长三尺&＃xff1b;莞生一日&＃xff0c;长一尺&＃xff0c;蒲生日自半&＃xff0c;莞生日自倍&＃xff0c;问几何日而长相等&＃xff1f;”

与此题同类的是《九章算术》第196题&＃xff1a;“今有垣厚五尺&＃xff0c;两鼠对穿&＃xff0c;大鼠日一尺&＃xff0c;小鼠亦日一尺&＃xff0c;大鼠日自倍&＃xff0c;小鼠日自半&＃xff0c;问几何日相逢&＃xff1f;各穿几何&＃xff1f;”

解&＃xff1a;设x日莞蒲等长&＃xff0c;“日自倍”即当日生长的长度是前一日的2倍&＃xff0c;“日自半”是当日生长的长度是前一日的一半。于是由等比数列求和公式可推出下面等式&＃xff1a;

化简得指数方程为&＃xff0c;可求出x值&＃xff1a;

由此可知我国数学家在汉代已经处理过有关指数函数y&＃61;2^x的问题&＃xff0c;但有趣的是那个时代世人尚不知对数是何物&＃xff0c;所以此题当时是无法求得其精确值的。故《九章算术》对此题“答曰&＃xff1a;二日十三分日之六”&＃xff0c;即是x&＃61;2又(6/13)日&＃xff0c;这个答案是错的&＃xff0c;或者说只是近似值。

有兴趣者可以自己算算“两鼠对穿”的答案。“蒲生莞生”和“两鼠对穿”这两个题赋予中国古代数学家建立指数与对数的大好机遇&＃xff0c;擦肩而过&＃xff0c;实在可惜。可惜又何止中国的古代数学家呢!

4.2 西边风景独好

公元前三世纪&＃xff0c;古希腊数学家阿基米德在他的名著《计砂法》中&＃xff0c;就曾研究过以下两个数列&＃xff1a;

并发现了幂的运算与指数之间的联系。然而&＃xff0c;由于阿基米德的天才思想&＃xff0c;大大超越了当时的时代&＃xff0c;智慧的火花终因后继无人而湮灭了。

公元1544年&＃xff0c;德国数学家斯蒂菲尔(1487&＃xff5e;1567)在《普通算术》宣布自己发现了一种关于整数的奇妙性质&＃xff0c;他认为&＃xff1a;“为此&＃xff0c;人们甚至可以写出整本整本的书”。

他发现了等差数列与等比数列之间具有这样的对应关系&＃xff1a;

他惊奇地发现&＃xff1a;等比数列数列中的两数相乘&＃xff0c;其乘积的“代表者”&＃xff0c;刚好等于等差数列数列中相应两个“代表者”之和&＃xff1b;而等比数列中的两数相除&＃xff0c;其商的“代表者”&＃xff0c;也恰等于等差数列中两个“代表者”之差。斯蒂菲尔得出结论&＃xff1a;可以通过如同上面那样的比较&＃xff0c;把乘除运算化为加减运算&＃xff01;这个结论就是上面“积的对数等于对数之和&＃xff0c;商的对数等于对数之差”的雏形。

历史常常惊人的重复着这样的人与事 &＃xff1a;当发现明明就在眼下&＃xff0c;只缘一念之差&＃xff0c;却被轻轻错过&＃xff01;他困惑于自己的发现为什么可以算出16×256&＃61;4096&＃xff0c;却算不出更简单的16×250&＃61;4000。

他终于没有看出在离散中隐含着的连续&＃xff0c;而是感叹于自己研究问题的“狭窄”。在伟大的发现面前&＃xff0c;刚刚伸出门外的脚不得不又缩了回来。

正当斯蒂菲尔感慨自己江郎才尽&＃xff0c;一直在对数门前来来回回之际&＃xff0c;纳皮尔(napier&＃xff0c;1550&＃xff5e;1617)出现了&＃xff0c;他的方法很简单&＃xff0c;只不过是让任何数都找到了与它对应的“代表者”。这相当于在斯蒂菲尔离散的表中&＃xff0c;密密麻麻地插进了许多的中间值&＃xff0c;使人看上去宛如无数的纬线穿行于经线之中&＃xff0c;显示出布匹般的连续。

公元1594年&＃xff0c;纳皮尔在历经了7300个昼夜之后&＃xff0c;精心编制了一本厚达200多页的八位对数表(对数的底数为e)。公元1614年&＃xff0c;纳皮尔发表了《关于奇妙的对数法则的说明》一书&＃xff0c;书中论述了对数的性质&＃xff0c;给出了有关对数表的使用规则和实例。纳皮尔终于用自己20年的计算&＃xff0c;换来了人世间无数寿命的延续①&＃xff01;法国数学家拉普拉斯夸赞说&＃xff1a;“如果一个人的生命是拿他一生中的工作多少来衡量&＃xff0c;那么&＃xff0c;对数的发明&＃xff0c;等于延长了人类的寿命。”

不幸的是&＃xff0c;纳皮尔的工作虽然延长了他人的寿命&＃xff0c;却没有使自己的生命得以延长。三年后&＃xff0c;由于积劳成疾&＃xff0c;劳累过度的纳皮尔不幸离世。

在纳皮尔离世的前一年他与牛津大学的教授布里格斯会面&＃xff0c;他接受教授的建议&＃xff0c;把对数的底数从e改为10&＃xff0c;这是一项伟大的建议。从此以后对数表就改成以10为底数的常用对数。而把以e为底的对数叫自然对数(e是另一个重要的无理数&＃xff0c;上节已出现过)。

纳皮尔的对数发明颇具传奇性&＃xff0c;当时的欧洲&＃xff0c;代数学仍处于十分落后的状态&＃xff0c;此时指数的概念尚未建立。在这种情况下先提出对数的概念&＃xff0c;不能不说是一种奇迹&＃xff0c;正是这“神来一笔”改变了历史的发展进程。

对数是十七世纪人类最重大的发现之一。在数学史上&＃xff0c;纳皮尔的对数、笛卡尔的解析几何及牛顿莱布尼茨的微积分三花齐放&＃xff0c;被誉为“历史上最重要的数学方法”。

4.3纳皮尔计算尺

纳皮尔还是数学家中为数不多的能工巧匠&＃xff0c;他发明一种计算尺&＃xff0c;对每个自然数1&＃xff0c;2&＃xff0c;3&＃xff0c;4,5,6,7,8,9&＃xff0c;各作一把尺子&＃xff0c;例如6号尺如图下图9-1.

例如求1615×365&＃61;&＃xff1f;

把1号&＃xff0c;6号&＃xff0c;1号。5号四把尺子拿来依次排列成图9-2.从图9-2的第三行上“斜加”抄得(3&＃43;1)8(3&＃43;1)5&＃61;4845&＃xff1b;同理从第六行抄得(6&＃43;3)6(6&＃43;3)0&＃61;9690&＃xff1b;从第五行抄得

(5&＃43;3)0(5&＃43;2)5&＃61;8075.于是&＃xff0c;

5.数系扩充的重新解读

5.1运算的封闭性需要

从小学到高中&＃xff0c;数不断地扩充。扩充并不完全是生活实践的需要&＃xff0c;比如前面说过的&＃xff0c;0的产生就远远在分数之后&＃xff0c;本文所讲的对数就在指数之前&＃xff0c;这与我们课本的排列顺序可是不同的哟。为什么呢&＃xff1f;数系的扩充缘由部分是来源于生活的需要&＃xff0c;但是更多的是由于数学研究的需要&＃xff0c;尤其是构造运算的封闭性的需要。

在正整数中&＃xff0c;加法是封闭的&＃xff0c;但是加法的逆运算就不封闭了&＃xff0c;于是引入了0和负数。负数的引入实现了自然数到整数的扩充&＃xff0c;使得对于加法、减法、乘法是封闭的&＃xff0c;但除法又不封闭了&＃xff0c;于是分数出现了&＃xff0c;有理数紧随其后。有理数虽然对加减乘除是封闭的&＃xff0c;对某些开方又不封闭了&＃xff0c;无理数应运而生了。实数域中只有非负数可以开偶次方根&＃xff0c;为了突破这种局限性&＃xff0c;使得开方运算可以普遍施行&＃xff0c;最终引进了虚数&＃xff0c;导致了复数域的出现。

5.2逆运算的合理性发展

从“数的加减乘除乘方的逆运算可以进行”出发&＃xff0c;同样可以将数从有理数逐级扩大到复数&＃xff0c;对这种数系的扩大我们不能仅仅看成是数的量上的扩张&＃xff0c;更重要的是“逆运算永远可以进行”中蕴含着的“正反两个方面”的思考与结论&＃xff0c;有这一思想作轴线&＃xff0c;使学生将高中与初中相关数学知识连成一个整体&＃xff0c;一方面看到了数系发展的轨迹&＃xff0c;另一方面又能通过这一事例得到方法、法则方面的借鉴而思考其他&＃xff1b;例如幂函数、指数函数、对数函数的定义、性质、图像&＃xff0c;就是把初中的幂、指数、对数引入函数概念而引申&＃xff0c;并以运算性质为基础发展而得到的。反过来用函数的观点来看幂、指数、对数又会有新的心得体会和感受。

逆运算进而逆问题永远是数学问题重要来源之一。

正运算都是封闭的&＃xff0c;而逆运算一般是开放的&＃xff0c;即正运算不会导致数域的扩充&＃xff0c;而逆运算则可能会导致数域的扩充。当然乘方、开方、对数未必是运算的最高阶(我们一般把加减运算看成是一阶运算&＃xff0c;乘除是二阶运算&＃xff0c;乘方、开方、对数是三阶运算)&＃xff0c;还可能有我们没有发现的比乘方等更高的四阶、五阶、甚至更高。数域的范围也会随之变化&＃xff0c;复数就未必是最大的数域了。

5.3插上想象的翅膀(脑洞大开)

比如说0是不能作为除数的(我们现在仍然认为0作除数无意义)&＃xff0c;能否构造一种运算让0作为除数呢&＃xff1f;这样的运算估计会让人惊掉下巴&＃xff0c;也必然会有新数的出现。有理数集估计又会出现新的定义方式了吧&＃xff01;

再比如负数为什么没有对数呢&＃xff1f;你是否可以构造一种运算让负数有对数呢&＃xff1f;你能对此发表你的高见吗&＃xff1f;

全文总结&＃xff1a;

加法是完全一致的事物的重复或累计&＃xff0c;是数字运算的开始。减法是加法的逆运算&＃xff1b;乘法是加法的特殊形式&＃xff1b;除法是乘法的逆运算&＃xff1b;乘方是乘法的特殊形式&＃xff1b;开方是乘方的逆运算&＃xff1b;对数是在乘方的各项中寻找规律&＃xff1b;由对数而发展出导数&＃xff1b;然后是微分和积分。数字运算的发展&＃xff0c;是更特殊的情况&＃xff0c;更高度重复下的规律。

注&＃xff1a;

①16世纪的欧洲&＃xff0c;由于资本主义迅速发展&＃xff0c;天文、航海、测绘、造船等行业亦得到迅猛的发展&＃xff0c;这就给数学提出了新的课题。有一个集中暴露出来的问题是&＃xff1a;在星体的轨迹计算&＃xff0c;船只的位置确定&＃xff0c;大地的形貌测绘&＃xff0c;船舶的结构设计等一系列的课题中&＃xff0c;人们所遇到的数据越来越越复杂&＃xff0c;计算也越来越难&＃xff01;无数的乘除、乘方、开方等等&＃xff0c;耗费了科学家大量的极其宝贵的时间和精力。急需一种能减少运算的有效地计算工具。