差商近似1阶导数matlab,常微分方程的解法(一):常微分方程的离散化:差商近似导数、数值积分方法、Taylor多项式近似...

常微分方程的解法求解系列博文&＃xff1a;

常微分方程的解法 (一): 常微分方程的离散化 :差商近似导数、数值积分方法、Taylor 多项式近似

常微分方程的解法 (二): 欧拉(Euler)方法

常微分方程的解法 (三): 龙格—库塔(Runge—Kutta)方法 、线性多步法

常微分方程的解法 (四): Matlab 解法

目录

1 常微分方程的离散化

数值解法

(i)用差商近似导数------差分方程初值问题

(ii)用数值积分方法

(iii)Taylor 多项式近似

建立微分方程只是解决问题的第一步&＃xff0c;通常需要求出方程的解来说明实际现象&＃xff0c;并 加以检验。如果能得到解析形式的解固然是便于分析和应用的&＃xff0c;但是我们知道&＃xff0c;只有线 性常系数微分方程&＃xff0c;并且自由项是某些特殊类型的函数时&＃xff0c;才可以肯定得到这样的解&＃xff0c; 而绝大多数变系数方程、非线性方程都是所谓“解不出来”的&＃xff0c;即使看起来非常简单的 方程如  &＃xff0c;于是对于用微分方程解决实际问题来说&＃xff0c;数值解法就是一个十 分重要的手段.

1 常微分方程的离散化

下面主要讨论一阶常微分方程的初值问题&＃xff0c;其一般形式是

在下面的讨论中&＃xff0c;我们总假定函数 f (x, y) 连续&＃xff0c;且关于 y 满足李普希兹(Lipschitz)条 件&＃xff0c;即存在常数 L &＃xff0c;使得

这样&＃xff0c;由常微分方程理论知&＃xff0c;初值问题(1)的解必定存在唯一。

数值解法

所谓数值解法&＃xff0c;就是求问题(1)的解 y(x) 在若干点

建立数值解法&＃xff0c;首先要将微分方程离散化&＃xff0c;一般采用以下几种方法&＃xff1a;

(i)用差商近似导数------差分方程初值问题

需要说明的是&＃xff0c;用不同的差商近似导数&＃xff0c;将得到不同的计算公式。

(ii)用数值积分方法

将问题(1)的解表成积分形式&＃xff0c;用数值积分方法离散化。例如&＃xff0c;对微分方程两端 积分&＃xff0c;得

右边的积分用矩形公式或梯形公式计算。

(iii)Taylor 多项式近似

以上三种方法都是将微分方程离散化的常用方法&＃xff0c;每一类方法又可导出不同形式的 计算公式。其中的 Taylor 展开法&＃xff0c;不仅可以得到求数值解的公式&＃xff0c;而且容易估计截断 误差。

常微分方程的解法求解系列博文&＃xff1a;

常微分方程的解法 (一): 常微分方程的离散化 :差商近似导数、数值积分方法、Taylor 多项式近似

常微分方程的解法 (二): 欧拉(Euler)方法

常微分方程的解法 (三): 龙格—库塔(Runge—Kutta)方法 、线性多步法

常微分方程的解法 (四): Matlab 解法