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差分约束系统zoj2770

这样的未知数组成的不等式组叫做差分约束系统,要么无解,要么无数组解(一组解加上或减去一个数字不等式依旧成立)。差分约束系统的求解利用单源最短路中的三角形不等式,对于有向网中的任何一条边满足d[

这样的未知数组成的不等式组叫做差分约束系统,要么无解,要么无数组解(一组解加上或减去一个数字不等式依旧成立)。

 x_2-x_5 \le 1
 x_1-x_2 \le 0
 x_1-x_5 \le -1
 x_3-x_1 \le 5
 x_4-x_1 \le 4
 x_4-x_3 \le -1
 x_5-x_3 \le -3
 x_5-x_4 \le -3

差分约束系统的求解利用单源最短路中的三角形不等式,对于有向网中的任何一条边满足d[v]<=d[u]+edge[u][v];
其中d[u],d[v]分别是从源点分别到顶点u和v的最短路径。

构造方法:
①每个不等式中的每个未知数Xi对应图中的一个顶点Vi;
②把所有不等式都化成图中的一条边,对于不等式Xi-Xj<=c,即Xi<=c+Xj,就可以化成,权值为c。
最后在这个图中求一次单源最短路,这些三角形不等式就都满足了。
增加一个源点,自己设一个,以上不等式为例,则添加一个X0,索性全部写成,则Xn-X0<=0;则增加了n的不等式。
现在以V0为源点,求单源最短路径。由于存在负权值边,所以要用Bellman-ford算法,最终得到的V0到Vn的最短路径就是{Xn}的一个解。
V0到其他各顶点的最短距离分别是{x1,x2,x3,x4...}

差分约束系统也可能出现无解的情况,也就是从源点到某一个顶点不存在最短路。如果有向网中存在负权值回路,则求出来的最短路径是没有意义的(从而不等式也无解),因为可以重复走这个回路,使得最短路径无穷小。

题意:略
注意:题干给的C1,C2..是容量,而不是实际人数,如果说实际人数为X1,X2...,则Xi<=Ci。前n个军营的总人数为Sn。
思路:前n个军营的总人数为Sn。前n个军营的总容量为d[n]。
     ①第i个大营到第j的大营士兵总数至少有k个,则Sj-Si>=k,即Si-Sj<=k。
     ②Sj-Si<=d[j]-d[i]
     ③每个兵营实际人数不超过容量,Si+1-Si     ④Xi>=0
     求∑Xi的最小值,即Sn-S0的最小值。
有向网的构造:
     对于每个不等式Si-Sj<=c,则存在j,Si-1>和i-1,Sj>双向边,但权值不同。

View Code
 1 #include 
 2 #define INF 9999999
 3 #define N 1001
 4 #define E 23000
 5 int d[N],c[N],x[N],s[N];
 6 int n,m;
 7 int dist[N];
 8 struct edge{
 9     int u,v,w;
10 }e[E];
11 int edgeNum;
12 void add(int u,int v,int w){
13     e[edgeNum].u=u;
14     e[edgeNum].v=v;
15     e[edgeNum++].w=w;
16 }
17 bool bellman(){
18     int i,j;
19     for(i=1;iINF;
20     for(i=0;i){
21         for(j=0;j)
22             if(dist[e[j].u]!=INF&&dist[e[j].u]+e[j].w<dist[e[j].v]){
23                 dist[e[j].v]=dist[e[j].u]+e[j].w;
24             }
25     }
26     for(int j=0;j)
27         if(dist[e[j].u]!=INF&&dist[e[j].u]+e[j].w<dist[e[j].v])
28             return 0;
29     return 1;
30 }
31 int main(){
32     int i,j,k;
33     while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF){
34         edgeNum=0;
35         d[n]=dist[0]=0;
36         for(i=1;i<=n;i++){
37             scanf("%d",&c[i]);
38             add(i-1,i,c[i]);
39             add(i,i-1,0);
40             d[i]=d[i-1]+c[i];
41         }
42         while(m--){
43             scanf("%d%d%d",&i,&j,&k);
44             add(j,i-1,-k);
45             add(i-1,j,d[j]-d[i-1]);
46         }
47         if(!bellman()) puts("Bad Estimations");
48         else printf("%d\n",dist[n]-dist[0]);
49     }
50     return 0;
51 }


 


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