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维普资讯

固

2一

第 12卷第 1期 广 东 机 械 学 院 学 报 V01&＃xff0e;12NO&＃xff0e;1

1994年 3月 JournalofGuanBdongMechanicalInstitute Mar&＃xff0e; 199d

布尔函数的Walsh谱的概率意义及其应用

曹本胜 李世取 曾文 曲

(解放军信息工程学院) (广东机械学院)

提 要

本文揭示了布尔函数的Walsh谱的概率实质&＃xff0c;对布尔函数的线性逼近的最佳意义作出了

概率解释&＃xff0e;井利用 Wal~h谱的慨率意义进行了谱分析 &＃xff0e;考察了谱的运算性质。文 中的方法和

结论对密码设计和分析都是有用的。

关键词&＃xff1a;相关免疫&＃xff1b;Walsh谱&＃xff1b;布尔函数I相关度&＃xff1b;概率

中国法 囊 ■ ——— ——

1 前 言

在密码学中&＃xff0c;若驱动序列与输出序列的信号符合率大于÷&＃xff0c;就称它们是统计相关的&＃xff0c;

利用这种统计相关性进行破译被称为相关攻击 。为研究BKG抵抗相关攻击能力&＃xff0c;Siegcn—

thaler在 [I]中率先提出了组合函数相关免疫的概念 随后&＃xff0c;人们对布尔函数的相关免疫性

的检验及具有相关免疫性的布尔函数的构造等 问题进行了一系列研究(见 (23中的介绍及

[3])。布尔函数的Wa]sh变换与Walsh谱是研究布尔函数相关免疫性的有力工具&＃xff0c;肖国镇

教授和Massey等在这一领域里开展了卓有面效的工作 [d、5]&＃xff0e;本文则揭示了布尔函数的

Ws]sh谱的概率实质 (这似乎一直未 l起人们足够重视)&＃xff0c;对布尔函数的线性 (仿射)逼近

的最佳意义作出了清晰的概率解释&＃xff0c;并利用Walsh谱的概率意义进行了谱分析&＃xff0c;考察了谱

的运算性质&＃xff0e;考察了一般布尔函数的Walsh谱与单项式布尔函数的Walsh谱的关系。与直

接从谱的定义出发进行谱分析相 比&＃xff0c;概率方法 自有其优 良性。我们还发现&＃xff0e;明确Wa]sh谱

的概率意义对于密码设计和分析都是重要的。

2 布尔函数的Walsh谱 的概率意义

定义 1。设X&＃61;( “&＃xff0c;“)C-卯 (2)&＃xff0c;w一(“&＃xff0c; ” )C- (2)&＃xff0c;W和 X的点积定义为

Ⅳ

W ·x一 ∑ 。C-G,v(2)

l

而 Ⅳ个变量X1&＃xff0c;…“的布尔函数 f(x -&＃xff0e;&＃xff0c; )垒&＃xff0c;()的Wa]sh谱定义为&＃xff1a;

收稿 日期#1994-01-05

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1期 布尔函数的Walsh谱的概率意义厦其应用

sl(w)一 2一 ∑ &＃xff0c;(x)(一 1)… W ∈GF(2) (1)

IEo— t2)

注&＃xff0e;(1)式中的算术运算是按十进制运算进行的。

引理 1 设 x∈G (2)&＃xff0c;wE卯 (2)&＃xff0c;x的布尔函数 &＃xff0c;(x)的Walsh谱为 研(w)&＃xff0c;W∈卯

(2)&＃xff0e;叉设 “&＃xff0c;j 是相互独立且具有对称分布的二元 (即取值于cF(2)的)随机变量 &＃xff0c;记

x一( &＃xff0c;…&＃xff0c; )&＃xff0c;&＃xff0c;(x)一&＃xff0c;( &＃xff0c;…&＃xff0c; )&＃xff0c;W ·x一∑ x&＃xff0e;&＃xff0c;W∈ (2)&＃xff0e;则 母(w)具有如下概率意

扫 l

义&＃xff1a;对任一 W∈ (2)&＃xff0c;有

母 (w)一 P仃 (x)&＃61; 1&＃xff0c;W ·X&＃61;

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