3D游戏与计算机图形学中的数学方法-变换

1变换

在3D游戏的整个开发过程中，通常需要以某种方式对一系列的向量进行变换。通常用到的变换包括平移，缩放和旋转。

1.1通用变换

通常可将n x n可逆矩阵M看成是一个从坐标系到另一个坐标系的变换矩阵。M的列给出了坐标系从原坐标系到新坐标系的映射。例如M是一个n x n可逆矩阵，当M与向量(1,0,0)，(0,1,0)和(0,0,1)相乘时，可以得到

 

类似地，M^-1的列给出了坐标轴从新坐标轴系到原坐标轴系的映射。这样对于任意给定的线性无关的向量U,V,W可以构造一个变换矩阵，该矩阵将这些向量映射到向量(1,0,0)，(0,1,0)和(0,0,1)。

 

多个变换可以串联起来，并且可以将多个变换矩阵的乘积用一个矩阵来表示。假设需要先用矩阵M后用矩阵G对一个对象进行变换，由于乘积满足结合律，对于任意向量P都有G（MP）=（GM）P，因此只需存储GM的乘积得到的矩阵，将该矩阵作为对象的变换矩阵即可。这样就可以对定点进行多次变换，而存储空间不变。

正交矩阵是一种其转置矩阵等于其逆矩阵的矩阵。正交矩阵只能用于表示旋转和反射的组合。

反射指在某一方向上将点进行镜像的一种运算。例如，矩阵

以xy平面为对称面对一点的z坐标进行反射。

手向性

在三维空间中，有3D向量V₁，V₂，V₃构成的坐标系的基&具有手向性。对于右手基，有（V₁*V₂）. V₃>0。也就是说，在一个右手坐标系中，v1，v2的叉积的方向与v3的方向形成一个锐角。如果&是一个正交规范的右手基，则有v1*v2=v3。若（v1*v2）.v3<0，那么&是左手基。

进行奇数次反射操作就会改变手向性，偶数次反射相当于一次旋转。通过观察3x3矩阵的行列式，就可以判定矩阵是否存在反射。若M的行列式是负的，则存在反射，用M对任意基的向量进行变换操作后，基的手向性都会发生改变。如果行列式是正的，那么M不改变手向性。

正交矩阵M的行列式的值只能是1或-1.若detM=1，矩阵M只存在旋转；如果为-1，那么M表示旋转之后再进行一次反射。

1.2缩放变换

简单来说，对于统一缩放可以理解为向量P乘以一个常数a，即P’ = aP。在三维空间里可以用矩阵的乘积表示。

 

如果是在xyz轴以不同的值进行缩放向量，那么可以这种缩放为非统一缩放。

 

如果在3个任意轴上进行非统一缩放，就要用到复杂的缩放过程。假设以系数a沿U轴方向，以系数b沿V轴方向，以系数c沿W轴方向进行缩放，可以先从坐标系(U,V,W)变换到坐标系(i,j,k)，然后在(i,j,k)坐标系进行缩放运算，最后在还原到(U,V,W)坐标系。

 

1.3旋转变换

首先讲一下在二维平面上的旋转，也就是在平面直角坐标系上进行旋转。假设一个向量P(Px,Py)，要想求得相对于它自身旋转a度角后的向量P’。我们就需要根据P逆时针旋转90度得到其正交的向量Q(-Py,Px)。可以将P，Q看做该坐标系的一对正交基，则P’可以被P和Q表示为：

P’ = Pcosa + Qsina； （1）

 

可以确定P’的x,y分量为：

 

可以改写成矩阵的形式：

 

引申一下：将单位矩阵的第三行和第三列加入P’矩阵中可得：

，该矩阵是绕z轴的三维旋转。

同样可以得到绕x轴和y轴旋转角度的3x3旋转矩阵。

 

绕任意轴旋转

假设向量P绕一个任意轴旋转Θ角，这里的任意轴以单位向量A表示，可以将向量P分解为垂直于和平行于A的分量P_1, P₂。由于平行分量P₂在平行于A，则在旋转过程中保持不变，主要求的是P₁的旋转。

由于A是一个单位向量，对于P在A上的投影，可以表示为：proj_AP = (A.P)A;

P垂直于A的分量可表示为：perp_AP = P – (A.P)A;

现将垂直于A的分量进行旋转，然后加上proj_AP就可以得到最终的旋转结果。

 

垂直分量的旋转是如何得到的呢？

垂直分量的旋转是在垂直于A轴的平面内进行的。可以用perp_AP与perp_AP逆时针方向旋转90度所形成的向量的线性组合来表示旋转后的向量。如上图所示，假设a是原向量P和A轴之间的夹角。perp_AP的长度等于||P||sina，那么perp_AP绕A轴逆时针旋转90度的向量perp_AP’就是A与P的叉积。

那么perp_AP旋转Θ角可以表示为：[P-(A.P)A]cosΘ + (A x P)sinΘ。 (2)

(2)式的推出可以参考(1)式。

加上proj_AP = (A.P)A，就可以得到P绕A轴的旋转公式：

P’ = PcosΘ + (A x P)sinΘ + A(A.P)(1-cosΘ);  (3)

 将(3)式换成矩阵的表达形式：

 

合并公式中的相同项，令C=cosΘ，S=sinΘ，得到表示向量绕A轴旋转Θ角的旋转矩阵R_A(Θ).

 

1.4齐次坐标

关于平移操作，不能用3 x 3矩阵表示，把点P从一个坐标系平移到另一个坐标系，只需要简单地添加偏移向量，不会影响到坐标轴的方向和尺度。

P’ = MP + T      (4)

其中M为3 x 3可逆矩阵，T是3D平移向量。利用(4)式进行两次操作可得到：

    (5)

若是要进行n次操作时，必须知道每次变换过程中的矩阵分量M_nM_n-1和平移分量M_nT_n-1+T_n。

我们利用四维变换可以将M和T统一起来，就可以建立一个四维4 x 4矩阵来表示平移操作。方法是给3D点P增加一个坐标，并将这个扩展的第四个坐标称之为w坐标，其值设为1。

     (6)

将矩阵F乘以向量(Px,Py,Pz,1)，就等价于(4)式对向量的x,y,z坐标进行变换，同时保持w为1。

从公式(4)中可以解出  (7)

因此可以从公式(6)中得到4 x 4矩阵F的逆矩阵F^-1为：

    (8)

可以验证(8)式的正确性: