线性代数之——克拉默法则、逆矩阵和体积

1. 克拉默法则

这部分我们通过代数方法来求解 \(Ax=b\)。

用 \(x\) 替换单位矩阵的第一列，然后再乘以 \(A\)，我们得到一个第一列为 \(b\) 的矩阵，而其余列则是从矩阵 \(A\) 中对应列直接拷贝过来的。

利用行列式的乘法法则，我们有

\[|A|(x_1)=|B_1|\]

如果我们想要求 \(x_2\)，那么将 \(x\) 放在单位矩阵的第二列即可。

\[|A|(x_2)=|B_2|\]

同理，如果 \(det A \not = 0\)，我们可以通过行列式来对 \(Ax=b\) 进行求解。

\[x_1 = \frac{det \space B_1}{det \space A} \quad x_2 = \frac{det \space B_2}{det \space A} \quad \cdots \quad x_n = \frac{det \space B_n}{det \space A}\]

其中 \(B_j\) 就是将矩阵 \(A\) 的第 \(j\) 列替换为向量 \(b\)。

2. 逆矩阵

对于 \(n=2\)，我们通过求解 \(AA^{-1}=I\) 来找到 \(A^{-1}\) 的每一列。

为了解出 \(x\)，我们需要五个行列式。

后面的四个行列式分别为 \(d，-c，-b，a\)，它们分别是矩阵的代数余子式 \(C_{11}，C_{12}，C_{21}，C_{22}\)。

对任意大小的矩阵都满足，当右边是单位矩阵的一列时，克拉默法则中矩阵 \(B_j\) 的行列式是一个代数余子式。

第一个行列式 \(|B_1|\) 是代数余子式 \(C_{11}\)，第二个行列式 \(|B_2|\) 是代数余子式 \(C_{12}\)，但是它位于逆矩阵的第一列，也就是 (2，1) 的位置。因此有

我们可以进行一个简单的验证，两边同时乘以 \(A\)。

左边第一行乘以第一列可得

\[a_{11}C_{11}+a_{12}C_{12}+a_{13}C_{13} = det \space A\]

第一行乘以第二列可得

\[a_{11}C_{21}+a_{12}C_{22}+a_{13}C_{23} = 0\]

这可以看作是我们将矩阵 \(A\) 的第一行复制到第二行得到另外一个矩阵 \(A^*\)，矩阵 \(A^*\) 有两行元素相同，其行列式为零。另外，我们注意到矩阵 \(A\) 和 \(A^*\) 的代数余子式 \(C_{21}，C_{22}，C_{23}\) 是相同的，因此上式就是矩阵 \(A^*\) 的行列式，其值为零。

3. 体积

任何人都知道一个长方形的面积——底乘以高，而一个三角形的面积为底乘以高的一半。但是，如果我们只知道三角形三个顶点的坐标为 \((x_1, y_1)，(x_2, y_2)，(x_3, y_3)\)，这时候面积为多少呢？

三角形的面积就是 \(3×3\) 行列式的一半，如果其中一个坐标为原点的话，那么行列式就只有 \(2×2\) 了。

由于平行四边形的面积是三角形面积的两倍，因此从原点开始的平行四边形是一个 \(2×2\) 的行列式。

如果我们能证明平行四边形的面积和行列式具有一样的性质，那么面积就等于行列式。

• 当 \(A = I\) 时，平行四边形就变成了单位正方形，面积为 \(det I = 1\)。


• 当两行进行交换的时候，行列式改变符号，但平行四边形还是原来的平行四边形，其面积的绝对值没有改变。


• 当某一行乘以 \(t\) 后，面积就变为原来的 \(t\) 倍。当其中一行不变，而另一行加上 \((x_1', y_1')\) 后，新的平行四边形的面积就为两个平行四边形面积的和。

注意右边的图形是一个平面图形，两个三角形的面积是一样的。我画了一个草图，可能会更直观一点。

\[S_{\diamond OCEB} = S_{\diamond OADB}+S_{\diamond ACED} \quad 因为 \quad S_{\triangle BED}=S_{\triangle OCA} \]

这个证明虽然不走寻常路，但是它可以很容易扩展到 \(n\) 维中去，它们都满足行列式的三个基本性质。在三维中，体积等于行列式的绝对值。

4. 叉积

两个向量的叉积定义为：

叉积得到一个新的向量，这个向量垂直于 \(u\) 和 \(v\)，而且有 \(v×u = -u×v\)。

• 性质 1： \(v×u\) 交换了第二行和第三行，因此有\(v×u = -u×v\)。




• 性质 2： \(v×u\) 垂直于 \(u\) 和 \(v\)。

行列式的三行变成了 \(u\) 、\(u\) 和 \(v\)，因此其值为零。

• 性质 3： 向量和自己的叉积是 0。当 \(u\) 和 \(v\) 平行的时候，它们的叉积也为 0。点积涉及余弦，叉积涉及正弦。

以 \(u\) 和 \(v\) 为边的平行四边形的面积等于它们叉积的模，其实也就是底乘以高。

叉积遵守右手定则，叉积后向量的方向为右手大拇指指向的方向。

\((u×v)\cdot w\) 是一个数字，代表边为 \(u\) 、\(v\) 和 \(w\) 的立方体的体积。

如果这个积为零，说明 \(u\) 、\(v\) 和 \(w\) 位于一个平面内，体积为零，矩阵是不可逆的，行列式为零。

5. 习题

如果 \(A\) 是奇异矩阵，那么有

\[AC^T=(det A)I \to AC^T = 0\]

因此， \(C^T\) 的每一列都位于矩阵 \(A\) 的零空间，我们可以通过求解矩阵的代数余子式来求解 \(Ax=0\)。

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