深入浅出数据分析最优化

本篇介绍了通过一个案例讲解如何通过Excel的Solver求解器解决利润最大化的问题。主要知识点为：最优化方法。

3.1 案例

一家生产橡皮鸭和橡皮鱼玩具的浴盆玩具生产企业，如何优化橡皮鸭和橡皮鱼的产量实现利润最大化。

3.2 最优化问题

当你希望尽量多获得（减少获得）某种东西，而为了实现这个目标的需要改变其他一些量的数值，你就碰到了一个最优化问题。

目标函数：C1X1 + C2X2 = P

C：每个C表示1个约束条件；在本文中主要指橡胶量和生产时间

X：每个X表示1个决策常量；在本文中主要指生产的数量

P：期望的最大化对象；在本文中指最大利润

任何最优化问题都有一些约束条件和一个目标函数

在本文中主要是通过向Excel表格中的Solver求解器中逐步增加约束条件求解利润的最大化问题；

你的模型告诉你如何实现最大利润，但仅仅是在你所规定的约束条件下；

不要假定两种变量是不相关的，创建模型时务必规定假设中的各种变量的相互关系

3.3 最优化方法

最优化方法，是指解决最优化问题的方法。所谓最优化问题，指在某些约束条件下，决定某些可选择的变量应该取何值，使所选定的目标函数达到最优的问题。

它主要运用数学方法研究各种系统的优化途径及方案，为决策者提供科学决策的依据。

最优化方法的主要研究对象是各种有组织系统的管理问题及其生产经营活动。最优化方法的目的在于针对所研究的系统，求得一个合理运用人力、物力和财力的最佳方案，发挥和提高系统的效能及效益，最终达到系统的最优目标。

3.3.1 常见的最优化方法

1、微分学中求极值

2、无约束最优化问题

3、常用微分公式

4、凸集与凸函数

5、等式约束最优化问题

6、不等式约束最优化问题

7、变分学中求极值

3.3.2 求解最优化方法的步骤

用最优化方法解决实际问题，一般可经过下列步骤：

1、提出最优化问题，收集有关数据和资料；

2、建立最优化问题的数学模型,确定变量,列出目标函数和约束条件；

3、分析模型，选择合适的最优化方法；

4、求解，一般通过编制程序，用计算机求最优解；

5、最优解的检验和实施。

上述 5个步骤中的工作相互支持和相互制约，在实践中常常是反复交叉进行。

3.3.3 模型的基本要素

最优化模型一般包括变量、约束条件和目标函数三要素:

1、变量：指最优化问题中待确定的某些量。变量可用x=(x1，x2,…,xn)T表示。

2、约束条件：指在求最优解时对变量的某些限制,包括技术上的约束、资源上的约束和时间上的约束等。列出的约束条件越接近实际系统，则所求得的系统最优解也就越接近实际最优解。约束条件可用 gi(x)≤0表示i=1,2，…，m，m 表示约束条件数；或x∈R(R表示可行集合)。

3、目标函数：最优化有一定的评价标准。目标函数就是这种标准的数学描述，一般可用f(x)来表示，即f(x)=f(x1，x2,…,xn)。要求目标函数为最大时可写成；要求最小时则可写成。目标函数可以是系统功能的函数或费用的函数。它必须在满足规定的约束条件下达到最大或最小。

3.3.4 最优化问题的求解方法

最优化问题的求解方法一般可以分成解析法、直接法、数值计算法和其他方法。

1、解析法：这种方法只适用于目标函数和约束条件有明显的解析表达式的情况。求解方法是：先求出最优的必要条件，得到一组方程或不等式，再求解这组方程或不等式，一般是用求导数的方法或变分法求出必要条件，通过必要条件将问题简化，因此也称间接法。

2、直接法：当目标函数较为复杂或者不能用变量显函数描述时，无法用解析法求必要条件。此时可采用直接搜索的方法经过若干次迭代搜索到最优点。这种方法常常根据经验或通过试验得到所需结果。对于一维搜索(单变量极值问题)，主要用消去法或多项式插值法；对于多维搜索问题(多变量极值问题)主要应用爬山法。

3、数值计算法：这种方法也是一种直接法。它以梯度法为基础，所以是一种解析与数值计算相结合的方法。

4、其他方法：如网络最优化方法等(见网络理论)。