不是群。
是独异点,幺元是E。对任意集合A∈P(E)且A不等于全集E,是否有这样的集合使得A∩?=E?
没有这样的集合,即A没有逆元。所以
不是群。
2.群的性质 群除了具有封闭、可结合、有幺元、每个元素均可逆这四个性质外,还有一-些其它性质。
1.群中无零元 设是群,如果|G|>=2, 则G中无零元。
证明: ( 反证法)假设G中有零元θ,则对任何x∈G,有θ★x=x★θ=θ≠e,所以零元θ就不存在逆元,这与是群矛盾。所以群中无零元。
如果一个代数系统既有零元又有幺元,则幺元和零元一定不能相等。
2.群中每个元素均是可消去元。 设是个群,则对任何a,b,c∈G,如果有
(1)a★b= a★c则b=c。
(2)b★a= c★a则b=c。
证明可以用定义证明,也可以用定理去证明。
用定理可以用如下定理
定理:设★是X上可结合的二元运算,如果a∈X,,且a-1∈X,则a是可消去元。
3.群中除幺元外,无其它幂等元。 设是群,则G中除幺元外,没有其它幂等元。
证明:(反证法)假设有a∈G是幂等元,即a★a=a于是有a★a=a★e,由可消去性有a=e,所以群中除幺元外,无其它幂等元。
4.群方程有唯一解 设是个群,则对任何a,b∈G,
(1)存在唯一元素x∈G,使得a★x=b …(1)
(2)存在唯一元素y∈G,使得y★a=b …(1)
思考:
方程a★x=b的解为a-1★b
方程y★a=b的解是什么?b★a-1
5.有限群运算表的特征 设是有限群,则G中每个元素在★运算表中的每一行(列)都必出现且仅出现一次。
是个群,对任何a,b∈G,有
(1) (a-1)-1=a
(2) (a★b)-1= b-1★a-1
群的阶与群中元素的阶 1.群的阶:
定义:设是群,如果|G|=n,则称是n阶群。
当G所包含的元素个数为有限时,群的阶为G所包含的元素个数。
当G所包含的元素个数为无限时,群为无限群。
从运算表可以看出:所有的一阶群都同构;所有的二阶群都同构;
所有的三阶群都同构。
2.群中元素的阶
定义:设是群,a∈G,使得ak=e成立的最小正整数k称为a的阶,记作|a|=k,称a为k阶元。
若不存在这样的正整数k,则称a的阶是无限的。
如整数上的加法是无限的。
例如:群是一个无限群,只有幺元0的阶是1,其余元素的阶都是无限的。
例: 的运算表如下图所示: 是否是群?若是群求各元素的阶。
设是群,a∈G且|a|=k。设n是整数,则
(1)an=e当且仅当k/n
(2)|a-1|= |a|
cxdyf及其证明 群的定义
cxdyf的定义 设是群,S是G的非空子集,如果满足:
(1)对任何a,b∈S,均有a★b∈S; (封闭)
(2)dbdxx∈S;(有幺元)
(3)对任何a∈S,有a1∈S(可逆)
则称是的cxdyf。
cxdyf:应该是原群的非空子集,本身也应该是一个群
任何群都存在cxdyf,<{e},★>及都是的cxdyf,称为的平凡cxdyf。
平凡群是指<{e},★>,只有dbdxx的集合。
例:代数系统是群,代数系统是的cxdyf。
因为I⊆R,任意两个整数做加法运算仍然是整数;幺元0∈l;对每个x∈l,其逆元-x∈I
cxdyf的证明
用cxdyf的定义证明:
即证明运算在非空子集上满足封闭性、有幺元、子集中每个元素均可逆。
cxdyf判定定理1:(有限封闭) 设是群,B是G的有限子集,如果★在B上满足封闭性,则是的cxdyf。
(1)先证明dbdxx∈B
(2)再证B中每个元素均可逆,任意b∈B,都有b-1∈B。
综上,是的cxdyf。
cxdyf判定定理2: 设是群,S是G的非空子集,如果对任意a,b∈S,均有a★b-1∈S,则是的cxdyf。
(1)先证dbdxx∈S
(2)再证S中任意元素均可逆
(3)最后证明的封闭性,任意a,b∈S,都有a★b∈S
综上,是的cxdyf。
练习:已知和是群的cxdyf,求证是、和的cxdyf。
(1)先证明H1∩H2是H1,H2及G的非空子集
显然H1∩H2⊆H1, H1∩H2⊆H2,
H1∩H2⊆G;
因为和是群的cxdyf,所以dbdxx∈H1并且e∈H2,
于是e∈H1∩H2,即H1∩H2≠∅
所以H∩H2是H1、H2及G的非空子集。
(2)再证明对任意a,b∈H1∩H2,a★b-1∈H1∩H2
cxdyf的陪集及拉格朗日定理 cxdyf的陪集 1.定义:设是群的cxdyf,a∈G,定义集合:
aH={a★h|h∈H}
Ha={h★a|h∈H}
称aH(Ha)为a确定的H在G中的左(右)陪集。
我们只讨论左陪集,对于右陪集有相似的结论
定理1:两个陪集要么相等,要么不相交 是群的cxdyf,任何a,b∈G,有
(1)aH=bH当且仅当a∈bH
(2)aH∩bH=中当且仅当a∉bH
a)必要性,已知aH=bH,因e∈H,于是a=a★e∈aH,所以a∈bH。
从上面定理可以看出:一个cxdyf的任意两个左陪集,要么相等,要么不相交。
当a∈bH,aH=bH ;
当a∉bH,aH∩bH=∅。
定理2:a仅属于一个陪集 设是群的cxdyf,对任何a∈G,a必属于且仅属于一个陪集。
定理3:陪集任何两个元素都不相同 设是有限群, 是群的cxdyf,b∈G,bH为的左陪集,则bH中的任何两个元素都不相同。
(反证法,假设bH中有两个元素相同)
假设有b★h1∈bH,b★h2∈bH,(其中h1,h2∈H,h1≠h2)使得b★h1=b★h2,由可消去性有h1=h2,矛盾。所以bH中任何两个元素都不相同。
拉格朗日定理:群的阶是cxdyf的阶的整数倍 设是有限群,|G|=n, 是的任意cxdyf,|H|=m,则n=km (k∈l)。
拉格朗日定理描述的内容是群的阶是cxdyf的阶的整数倍
群的阶数指的是群中元素的个数。
拉格朗日定理说明:n阶群的cxdyf阶数是群阶数的因子。
下面的推论1说明:
群中元素的阶数必是群阶数的因子。
循环群 1.定义: 设是群,如果存在一一个元素g∈G,对任意x∈G,都存在整数i,使得x=gi,则称是循环群。并称g是G的生成元。
所有的元素都可以通过其中一个元素幂指形式生成。
思考:-1是否是生成元?
2.循环群的类别: 根据生成元g的阶,循环群可以分成两类:
定理 设是以g为生成元的有限循环群。则|G|=n
当且仅当|g|=n
循环群中生成元的个数 设是由g生成的循环群。
(1)若G为无限循环群,则G只有两个生成元g和g-1。
(2)若G是n阶循环群,则G含有φ(n)个生成元。
对于任何正整数r,若r≤n且与n互素,
则gr是G的生成元。
φ(n)为欧拉函数,即小于或等于n且与n互素的正整数的个数。
证明:(1)若G为无限循环群,则G只有两个生成元g和g-1。
证明:(2)若G是n阶循环群,则G含有φ(n)个生成元
一般来说,求一个群的cxdyf并不容易,但对于循环群,可以直接求出他的所有cxdyf
是由g生成的循环群,|G|=12,
小于或等于12且与12互素的正整数有4个:
1,5,7,11,即φ(12)=4。于是有4个生成元,分别是:g,g5,g7, g11
设, G={3a| a∈I},+是普通加法运算,则为无限循环群,只有两个生成元: 3和-3。
循环群的cxdyf (1)若循环群,则的cxdyf仍是循环群。.
(2)若是无限循环群,则的cxdyf除<{e},★>以外都是无限循环群。
(3)若是n阶循环群,则对n的每个正因子d,恰好含有一个d阶cxdyf。
证明:(1)若循环群,则的cxdyf仍是循环群
主要是找到生成元
设是素数阶群,则它无非平凡cxdyf,并且它必是循环群。