第三章线性系统的时域分析

第三章 线性系统的时域分析

1. 经典控制理论中常用的工程分析方法有 3 种
   时域分析法
   根轨迹法
   频率响应法
2. 分析内容：动态性能；稳态性能；稳定性
3. 时域分析法——在时间域内研究系统在典型输入信号的作用下，其输出响应随时间变化规律的方法。

1、典型的输入信号

1. 控制系统的响应是由系统本身的结构参数、初始状态和输入信号的形式所决定的。
2. 由于阶跃信号的频谱具有很宽的频带，通常也作为测试信号，等价于应用无数个频率范围很宽的正弦信号。
3. 斜坡信号可以看作是阶跃信号的积分，有时又称为速度信号。斜坡信号的变化要比阶跃信号快一个等级，它具有测试系统将如何对随时间变化的信号做出响应的能力。
4. 加速度信号可以看作是斜坡信号的积分，有时又称为抛物线信号。
5. 正弦信号可以求得系统对不同频率的正弦函数输入的稳态响应，称为频率响应。

2、动态响应和稳态响应

1. 时间响应——系统在输入信号的作用下，其输出随时间变化的过程。对于任何一个稳定的控制系统，输出响应含有动(瞬)态响应和稳态响应。

动(瞬)态过程:指系统在典型输入信号作用下，系统输出量从初始状态到最终状态的响应过程，动态过程表现为衰减、发散或等幅震荡形式。	稳态响应:指系统在典型输入信号作用下，当时间 t → ∞ t\to \infty t→∞时，系统输出量的表现方式。它表征系统输出量最终复现输入量的程度（跟踪），提 供系统有关稳态误差的信息。

3、动(瞬)态性能指标与稳态性能指标

• 动(瞬)态性能指标——稳定的系统在单位阶跃信号作用下，动(瞬)态过程随时间的变化状况的指标。
• 稳态误差：是控制系统精度和抗干扰能力的一种度量，反映控制系统复现或跟踪输入信号的能力。

上升时间 t r t_r tr​	(1)振荡——第一次上升到终值所需时间； (2)非振荡——从终值的10%上升到终值的90%所需的时间；
峰值时间 t p t_p tp​	超过其终值后，到达第一个峰值所需的时间；
最大超调（量）	若 t p 若tp​<t(∞)则相应无超调
延迟时间 t d t_d td​	第一次达到其终值一半所需的时间；
调节时间 t s t_s ts​	到达并保持在终值±5%(或±2%) 的误差带内所需的最短时间。
t p ; t r t_p;t_r tp​;tr​	评价系统起始段的响应速度
t s t_s ts​	评价系统整个过渡过程的响应速度，是响应速度和阻尼程度的综合指标。
t r t_r tr​	σ \sigma σ%评价系统的阻尼程度；

• 用一阶微分方程描述的控制系统称为一阶系统。

G ( s ) = C ( s ) R ( s ) = 1 T s + 1 G(s)=\frac {C(s)} {R(s)} =\frac {1}{Ts+1} G(s)=R(s)C(s)​=Ts+11​
T表征系统惯性重要的特征参数，反映了系统过渡过程的品质。	T越小，则系统响应越快。

1. 一阶系统的单位阶跃响应

	(a) 输出量的初始值为零，而终值将变为1。
(b) C s s C_{ss} Css​成为稳态分量，它的变化规律由输入信号的形式决定。 C t C_t Ct​t称为暂态分量。稳定的，无振荡。	(c )该响应曲线的一个重要特征是当系统的时间常数 t = T t=T t=T时， c ( t ) c(t) c(t)的数值等于0.632，即响应达到了其总变化的63.2%。
(d) 该响应曲线时间常数 T T T越小，系统的响应越快。

(1)时间常数 T T T反映了系统的响应速度， T T T越小，输出响应上升越快，响应过程的快速性也越好。经过时间 3 T ～ 4 T 3T～4T 3T～4T，响应曲线已达稳态值的95%～98％，可以认为其调整时间已经完成，故一般取调整时间 t s = ( 3 ～ 4 ) T t_s=(3～4)T ts​=(3～4)T。	(2)调整时间 σ \sigma σ% 一阶系统的单位阶跃响应为非周期响应，故系统无振荡、无超调， σ \sigma%=0 σ
(3）稳态误差 e s s e_{ss} ess​ 终值为1，因而系统在阶跃输入时稳态误差为零。

3、一阶系统的单位脉冲响应

单位脉冲响应在t=0时等于 1/T，它与单位阶跃响应在t=0时的变化率相等。	单位脉冲响应是单位阶跃响应的导数，而单位阶跃响应就是单位脉冲响应的积分。

4、一阶系统的单位斜坡响应

提高斜坡响应的精度来看，时间常数T越小，响应速度越快，跟踪误差越小，输出信号滞后于输入信号的时间也越短。	单位斜坡响应就是单位阶跃响应的积分。

5、一阶系统的单位加速度响应

	对于一阶系统来说，不能实现对加速度输入信号的跟踪。

如果运动方程为二阶微分方程，或者特征方程s的最高阶次为2次，则该系统为二阶系统。	ω n \omega_n ωn​称为无阻尼振荡频率或自然频率，属于闭环系统的固有频率 ; ξ \xi ξ称为二阶系统的阻尼比或相对阻尼系数，量纲为1
二阶系统的特征方程

3.4 二阶系统的时域分析

1、二阶系统的单位阶跃响应
（1）无阻尼 ξ \xi ξ=0	表明系统在无阻尼时，响应是一个纯正弦信号，电路中将发生不衰减地电磁振荡现象，振荡频率为 ω n \omega_n ωn​ 。
（2）欠阻尼0< ξ \xi ξ<1
（3）临界阻尼 ξ \xi ξ=1
（4）过阻尼 ξ \xi ξ>1
	在设计二阶系统时，一般取 ξ \xi ξ=0.4~0.8，即系统工作在欠阻尼状态下。小的 ξ \xi ξ（ ξ \xi ξ<0.4）的会造成系统瞬态响应的严重超调，而大的 ξ \xi ξ（ ξ \xi ξ>0.8）会使系统的响应变得缓慢。
1）上升时间 t r t_r tr​	当阻尼比 ξ \xi ξ一定时，阻尼角 β \beta β不变，系统的响应速度与 ω n \omega_n ωn​成反比。在 ω d \omega_d ωd​一定时，阻尼比越小，上升时间就越短。
2）峰值时间 t p t_p tp​	同时峰值时间与阻尼振荡频率 ω d \omega_d ωd​成反比，当阻尼比一定时， ω d \omega_d ωd​越大， t p t_p tp​越短，响应速度越快。当 ω n \omega_n ωn​一定时，阻尼比越小， t p t_p tp​越短，响应速度也越快。
3）超调量 σ \sigma σ	超调量 σ \sigma σ%仅由阻尼比 σ \sigma σ来决定 ， 而与自然频率 ω n \omega_n ωn​ 无关。阻尼比越大，超调量越小，平稳性越好。通常 σ \sigma σ =0.4~0.8 ，则 σ \sigma σ%= 25.4%~1.5%。在这样的条件下，系统的总体性能良好。
4）调节时间 t s t_s ts​	由公式可知，调整时间与系统的阻尼比和自然频率的乘积成反比。通常阻尼比是根据最大允许超调量的要求来决定的，也就是说，在不改变最大允许超调量的前提下，通常通过调整自然频率就可以改变瞬时响应的持续时间。
（5）振荡次数 N N N	振荡次数 N N N取整数，只与阻尼比有关。
	系统对超调量的限制要求选定 ξ \xi ξ，然后再根据其它要求来确定 ω n \omega_n ωn​。工程上常取 ξ \xi ξ=0.707作为设计依据，称之为二阶工程最佳。此时，超调量为4.3%，调节时间最短（5%的误差标准）。

例题

1. 二阶系统性能的改善

比例-微分控制

例题

• 高阶系统的主导极点常常是共轭复数极点，因此高阶系统可以常用主导极点构成的二阶系统来近似。
• 闭环传递函数中，如果负实部的零、 极点在数值上相近，则可将该零点和极点一起消掉，称之为“偶极子相消”。

1、稳定的基本概念和稳定的充分必要条件

2、代数稳定判据

（1）劳斯稳定判据

给定稳态误差（由给定输入引起的稳态误差）
扰动稳态误差（由扰动输入引起的稳态误差）

1. 误差的定义
注：对单位反馈来说，两种定义方式虽然不一样，但具体数值是一样的，此时，不必区分误差是输入端还是输出端定义的了。	注： e s s ( t ) e_{ss}(t) ess​(t) 与 e s s ( ∞ ) e_{ss}(\infty) ess​(∞) 均可称作稳态误差。严格讲 e s s ( ∞ ) e_{ss}(\infty) ess​(∞)叫做终值误差，常简写为 e s s e_{ss} ess​
例题

1. 系统类型（重点）

1.系统类型的概念

2.典型输入作用下的稳态误差与静态误差系数（考试、考研重点）

例题
	解：（1）先求出系统的传递函数，并用劳斯判据判断系统的稳定性。 (如果此题不先判断稳定性就用静态误差系数法求取，不得分）

2. 扰动作用下的稳态误差

（1）控制系统在扰动作用下的稳态误差值反映了系统抗干扰的能力。
（2）系统输入信号和扰动信号对系统的作用位置不同，因此，稳态误差也不同。

扰动作用下的稳态误差一般从输出端定义
例题

3. 减小或消除稳态误差的措施

（1）增大增益：增大系统开环增益或扰动作用点之前系统前向通道的增益	(2）提高型：在系统的前向通道或主反馈通道设置串联积分环节。
以上两种措施都容易导致系统不稳定。
串级控制（电机控制中应用较多）
两个回路，主回路和副回路。 G c 1 ( s ) G_{c1}(s) Gc1​(s)和 G c 2 ( s ) G_{c2}(s) Gc2​(s)分别为主调节器和副调节器，并且两个调节器以串联的方式对控制对象进行共同控制，故称为串级控制。施加于副回路中的扰动叫做二次扰动，如 N ( s ) N(s) N(s)；处于副回路之外的扰动成为一次扰动。	串级控制的特点：串级控制系统在结构上比单回路控制系统多了一个副回路，对进入副回路的二次扰动具有很强抑制能力。