拜尔范畴定理介绍

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拜尔范畴定理简介:
拜尔范畴定理，通常被称为拜尔定理和范畴定理，是分析和集合论中的一个结论，它说任何“大”集合的可数集合的交集在某些空间中保持“大”。名称中“范畴”一词的使用暗示了定理与第一和第二范畴集思想的相互作用。

换句话说，如果空间 S 要么是全度量空间，要么是局部紧 T2 空间，那么 S 的稠密开子集的任何可数集合的交集在 S 中一定是稠密的

证明。
假设没有 Fk 有非空开集。然后，也只有那时，没有 Fk 等于 E.
因为 F1 6= E，F1 是一个必须包含一个元素的非空开集。开口不包括在集合 F2 中。b(x1；半)球。结果，非空开集 F2 B(x1；1/2)包含一个空球。

利用归纳定义原理，我们得到一系列开球 Bk = B(xk；k)这样，对于所有整数( k 1，0 k)

bk+1 = B(xk；k/2)，而 Bk Fk =特别是族(Fk)kN 必须是无限的。(换句话说，在有限的情况下证明是完整的。)因为，对于 n ^ m，

因为存在非局部紧的完备度量空间(下面定义了度量的无理数；同样，任何无限维的 Banach 空间)，并且存在不可度量的局部紧 Hausdorff 空间，这些陈述都不暗示另一个(例如，任何非平凡紧 Hausdorff 空间的不可数积都是这样的；此外，函数分析中使用的几个函数空间；不可数的堡垒空间)。

可数性的概念，作为一种比较集合和自然数集合的方法，在本科的实分析课程中经常被教授。我们知道可数集包括整数集、奇数集和有理数集。

不可数集合被定义为不可数的集合，如所有非理性的集合。集合是可数的还是不可数的，取决于它与自然数是否有一一对应的关系。

根据定义，度量空间是具有距离函数的集合。由于对集合没有其他限制，范畴的概念可以扩展到广泛的度量空间，包括欧氏空间、函数空间和序列空间。

波兰数学家斯坦尼斯劳·马祖尔在 1935 年提出了以下游戏:

玩家 1 和玩家 2 是两位玩家的名字。间隔[0，1]的子集 A 提前确定，参与者交替选择子间隔。在[0，1]中，每个 n 的 In+1 In 大于 1。如果所有 In 的交集与 A 相交，则玩家 1 获胜，如果所有 In 的交集与 A 相交，则玩家 2 获胜。

这个交集可能会被迫与 A
不相交有几种方式来陈述拜尔范畴定理。我们提供了这个定理的五种变体及其等价形式。

1. 每个区间[a，b]代表一组第二类。


2. r 属于第二组。


3. r 的剩余子集都是稠密的。


4. 具有空内部的闭集的任何可数并集中都有一个空内部。


5. 稠密交是开稠密集的任意可数交。

备注: 拜尔范畴定理是一个“相当深刻的发现”——正如你所看到的，它不是(紧性的三个概念的等价性的证明更加困难)。

但有意义的是考虑可数联盟的简单概念。无处不在的厚设置这对于拜尔(和奥斯古德)来说是一个绝妙的主意，而且成功了。

应用:
1。显示每 k，y 位于 BX(xk，rk/2)。(提示:对于 p = 0，y 是(xk+p)的极限。
解:
如上所述，y 位于 BX(xk，rk)，因此对于每一个 k 都位于英国
换句话说，y 包含在 g 中。我们还看到 y 位于 BX(x，r/2)，因为每个 xk 都属于这个封闭集。因此，y 也存在于 BX(x，r)。这展示了我们想要展示的。
该结果经常用于以下格式的应用中。设 Xn 是全度量空间(X，d)中的闭集序列，使得 X = nXn 也就是说，X 是集合 Xn 的并集。然后我们断言至少有一个 Xn 的内部不是空的。以下悖论证明了这一点。
假设 Xn 每 n 个都有一个空的内部，结果 Xn 的补码 Un = X Xn$打开。

2。布景很密集。在实数中，所有有理数 Q 的集合是稠密的:在 R 中，设 a 为 b。然后在某个地方有一个逻辑数字(a，b)。
索恩。:
让∑= B- a .
当 1 N b a 时，选择 N，使得 N > 1 ba。
假设 A = m N : m N 是 q 的子集，我们断言 A (a，b) 6=。假设情况正好相反。那么我们可以选择 m1，这是最大的整数，比如 m1 N a .如果 m+1| N > b，那么 m+1| N > b.
但是那么 b a m1 + 1 N m1 N = 1 N b a，这是矛盾的。因此，(a，b)Q = 6。

假设引理 1 中 R 的分离点:
pis 的图随后在 R2 闭合。证据。如果不是这样，那么在 R 中有一系列趋向于 x0as n 的点，使得(3.1) p(xn)y0as n 和 y06=p (x0)。对于每个 f Ap，f 和 f(p)所以，对于每个 f Ap，(3.2)f(p(x0))= LiMn f(p(xn))= LiMn f(y0)。这表明 Ap 没有分离兰德点，完成了引理的证明。

模型理论中的省略类型定理和拓扑学中的贝尔范畴定理被公认是相关的。我们研究这两个定理之间的确切关系。利用广义逻辑的概念，我们证明了如果某个相关的拓扑空间具有所有的闭子空间，那么传统的省略类型定理适用于一个逻辑。我们还考虑了更大的拜尔范畴要求，因此更强的省略类型定理，以及一个游戏变体。我们使用已经在集合论拓扑中探索过的空间实例来构建抽象逻辑，以表明游戏省略类型断言始终不等于经典断言。

结论:
给定满足(b)和(c)的线性空间 E 和 E 上的可数半范数族(Pk)，我们只能用一种方法将 E 拓扑化为弗雷切特空间。
这样，拜尔范畴定理的引入就结束了。希望这篇文章能帮你找到这个话题的要点，让你在细节上有所停留！