霍夫丁不等式与真实的机器学习

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1.霍夫丁不等式

在一个罐子里，放着很多小球，他们分两种颜色{橘色，绿色}。从罐中随机抓N个小球。设：罐中橘色球的比例为μ(未知)，抓出来的样本中橘色球的比例为ν（已知）。根据概率论中的霍夫丁不等式(Hoeffding’s Inequality)若N足够大，ν就很可能接近μ。

同理的，在机器学习中：N足够大的时候可以用数据集D上的 [h(x)≠f(x)] 来推测{χ}上的 [h(x)≠f(x)]。就是说，如果样本足够大，那么备选函数h在D上犯错误的比例接近其在{χ}上犯错误的比例。设某一备选函数h在D上的犯错比例为E-in(h)，在整个输入集上的犯错比例为E-out(h)，则有：

通过上式，可以根据备选函数h在D上的表现来衡量它的正确性，并最终从备选函数集H中选出最优的那个h作为g，且g≈f。

2.真实的机器学习

先举一个例子，150个人每人抛一个硬币5次，至少有一个人5次皆为人头向上的概率为1 - (31/32)^150 = 99.15%所以一个小概率事件如果重复多次，他发生的概率就会变得很大。                              

同理，如下情形是有可能的：学习算法A在备选函数集H中（含有很多h）孜孜不倦地挑选着h，突然找到一个h_i，发现它在D上没犯错误或只犯了很少错误，A高兴大喊：我找到g了，就是这个h_i！但实际上这个h_i在{χ}上却犯了很多错误（E_in(h_i)与E_out(h_i)差很远）。对于这个h_i来说，D是一个坏样本（Bad Sample）。H中可能提取若干样本D_i，{ i= 1, 2，3 . . . }，对于某一个h来说，其中一些样本是Bad Sample。因为Eout big (far from f), but Ein small(correct on most examples)

对于对于任意样本D和给定的h，有

BAD data for many h
⇐⇒ no ‘freedom of choice’ by A
⇐⇒ there exists some h such thatEout(h) and Ein(h) far away

在整个备选函数集H（有M个元素）上，以下4个命题等价：

---D是H的Bad Sample   ---D是某些h的Bad Sample  --学习算法A不能在H中做自由筛选   ---存在某些h使得E-in(h)与E-out(h)差很远

 

根据上表，可以看出，D-1126这样的训练数据集是比较优质的。

 

给定任意D，它是某些H的Bad Sample的概率为：

即H中备选函数的数量M越少，样本数据量N越大，则样本成为坏样本的概率越小。在一个可接受的概率水平上，学习算法A只需要挑选那个表现最好的h作为g就行了。即在上式中H的个数要求为有限个。