[线性代数]矩阵(mooc秦静老师讲解)

本实验源于秦静老师的《线性代数》。

方阵

当m&＃61;n时,即矩阵的行数与列数相同时&＃xff0c;称矩阵为方阵.

零矩阵

矩阵元素全为0的矩阵

对角矩阵

只有对角线非0的方阵是对角矩阵。

单位矩阵

对角线上的元素都是1的方阵是单位矩阵。

数量矩阵

对角线上的元素是相同的数k为数量阵。

上(下)三角阵

分别称为上三角矩阵和下三角矩阵。

梯形阵

我如果来背这个定义的是抓住两个&＃xff0c;第一个&＃xff1a;非零行全在零行上面。第二个&＃xff1a;非零行中非零元素的个数随着行数增大增多或减少。

矩阵相等

两个矩阵相等是指这两个矩阵有相同的行数与列数&＃xff0c;且对应元素相等。

加减法

矩阵的加减法&＃xff0c;都是在矩阵的同型上面做运算。

数乘

数k乘矩阵中的每一个元素

矩阵的乘法

两个矩阵相乘&＃xff0c;第一个矩阵的列要等于第二个矩阵的行。

矩阵的每一行乘以另一个矩阵的每一列。

乘法运算规律

乘法练习

第一题的反例

第二题的反例

方阵的正整数幂

矩阵的转置

两个矩阵做转置

对称阵与反对称阵

A^T&＃61;A
刚开始看到这个概念的时候&＃xff0c;心中就犯迷惑&＃xff0c;A的转置本来就等于A啊。然后又仔细看了一下定义&＃xff0c;后面一句话是关键

若A^T&＃61;-A那肯定是

这肯定要牢记&＃xff0c;以前复习&＃xff0c;都没注意到。我一定要深深领会才是。
任一方阵都可以分解成对称阵与反对称阵的和。

由方阵A所构成的行列式称为方阵的行列式&＃xff0c;记为|A|.
若方阵的行列式不为0&＃xff0c;则称方阵为非奇异方阵&＃xff0c;否则称为奇异方阵。

n阶方阵

这就是方阵的行列式。下面还有一条规律。

这就让我充分明白了&＃xff0c;听视频可以十分钟&＃xff0c;而最后的回顾起来&＃xff0c;把这些零零碎碎的知识点&＃xff0c;在重新捡起来&＃xff0c;要好久。
这节最后提了一句&＃xff1a;奇数阶反对称阵的行列式的值为0

代数余子式的顺序一定要注意&＃xff1a;

应该是这样子的。然后按照行列式的定义。

可以导出这个公式&＃xff0c;这个公式&＃xff0c;也是在后面用到非常广泛的。

三种变换

• 对换矩阵中第i,j两行(列)的位置.
• 用非零常数k乘第i行(列)
• 将矩阵的第j行(列)乘以常数k后加到第i行(列)对应元素上去。

提示&＃xff1a;初等变换可以简化矩阵&＃xff0c;如将矩阵化为梯形阵。

化矩阵后的矩阵&＃xff0c;肯定不与原矩阵相等&＃xff0c;那么我们称它们为等价。

研究最高阶数称为矩阵A的秩。记作r(A).它也有四个性质&＃xff0c;这也后面在证明的时候&＃xff0c;运用的比较多。

• r(Am*n)<&＃61;min{m,n}
• 若有一个r阶子式不为0&＃xff0c;则r(A)>&＃61;r;若所有r阶子式全为0&＃xff0c;则r(A)
• r(A^t)&＃61;r(A)
• 设An*n,若|A|≠0&＃xff0c;则r(A)&＃61;n&＃xff1b;若|A|&＃61;0,则r(A)

定理&＃xff1a;矩阵经初等变换后其秩不变。
当然了&＃xff0c;矩阵的秩是矩阵的一个重要的数字特征。显然&＃xff0c;若两个矩阵有相同的秩&＃xff0c;则这两个矩阵有相同的标准形&＃xff0c;从而等价&＃xff1b;反之&＃xff0c;若两个矩阵等价&＃xff0c;则他们的秩相同。
即有&＃xff1a;
定理&＃xff1a;矩阵A与B等价的充要条件是r(A)&＃61;r(B)

满秩矩阵

定义&＃xff1a;若方阵A的秩与其阶数相等&＃xff0c;则称A为满秩矩阵&＃xff1b;否则称为降秩矩阵。
定理&＃xff1a;设A为满秩阵&＃xff0c;则A的标准形为同阶单位阵E&＃xff0c;即

定义&＃xff1a;若方阵A的行列式|A|≠0&＃xff0c;则称A为非奇异矩阵&＃xff1b;若|A|&＃61;0&＃xff0c;则称为A为奇异矩阵。

满秩<&＃61;&＃61;>非奇异

降秩<&＃61;&＃61;>奇异

当大家看见初等二字&＃xff0c;那就是经过初等变换。对单位阵进行一次初等变换后得到的矩阵称为初等矩阵。

• 初等矩阵的转置仍为同类型的初等矩阵。
• 初等矩阵都是非奇异的。
• 行变换相当于左乘初等矩阵
• 列变换相当于右乘初等矩阵

其实这些可以&＃xff0c;都在实际训练中获得。

谈到逆矩阵的时候&＃xff0c;一定要熟悉定义&＃xff0c;存在矩阵B&＃xff0c;使得AB&＃61;BA&＃61;E。如果一个矩阵可逆&＃xff0c;那么称这个逆矩阵唯一。并且每个方阵都可逆。想到逆阵&＃xff0c;并且想要可求&＃xff0c;那么就会想到

只要一除&＃xff0c;就可以求出逆矩阵。
定理&＃xff1a;n阶方阵A可逆的充要条件是|A|≠0.

回想一下&＃xff0c;A可逆&＃xff0c;充要条件行列式不为0&＃xff0c;A满秩&＃xff0c;行列式不为0&＃xff0c;A非奇异&＃xff0c;行列式不为0。因此一个行列式不为0&＃xff0c;有了三种说法。

图片的这些公式&＃xff0c;是学习的基础&＃xff0c;如果仅仅看起来很熟悉&＃xff0c;闭着眼睛&＃xff0c;想不起来。做题还是比较完蛋。

逆阵的求法

方法一&＃xff1a;用A求。1/|A| x A
方法二&＃xff1a;初等变换法

方法三&＃xff1a;用定义求
对n阶方阵A&＃xff0c;只需找到一个n阶矩阵B&＃xff0c;使AB&＃61;E或者BA&＃61;E就行了。
方法四&＃xff1a;用定义证明B为A的逆
也就是证明等式AB&＃61;E成立或者BA&＃61;E成立。

矩阵里面有小矩阵&＃xff0c;如果分块矩阵做转置&＃xff0c;大块小块一起转。

特殊的分块阵

准对角阵

分块三角阵

我在记忆分块上三角与分块下三角的时候&＃xff0c;按照它的下标规律&＃xff0c;进行记忆

到了学习此模块的内容&＃xff0c;就可以放松一下&＃xff0c;因为这只是矩阵的一个应用。

AX&＃61;B,A可逆

解法一

解法二&＃xff1a;

这是行变换&＃xff0c;行变换哟&＃xff01;一会行&＃xff0c;一会列的&＃xff0c;答案肯定是错的&＃xff01;

XA&＃61;B,A可逆

解法一&＃xff1a;

解法二&＃xff1a;

解法三&＃xff1a;

建议还是行变化吧&＃xff0c;一路行到底。最后再转置一下&＃xff0c;大功告成&＃xff01;

AXC&＃61;B,A,C可逆

解法一&＃xff1a;

解法二&＃xff1a;

看起来AXC要计算量很大的样子&＃xff0c;但是求解矩阵方程时&＃xff0c;一定要记住&＃xff1a;先化简方程&＃xff0c;再求解。
总结&＃xff1a;矩阵是线性代数的基本内容&＃xff0c;熟练掌握矩阵的基本概念和简单运算对后面的学习将会是一个重大的帮助。