全文共1204字&＃xff0c;预计学习时长4分钟
图源&＃xff1a;unsplash
中心极限定理(CLT)是指&＃xff0c;给定足够大的样本量&＃xff0c;无论变量在总体中的分布如何&＃xff0c;变量均值的抽样分布都将近似于正态分布。
这是统计学中的一个基本定理&＃xff0c;也是最重要的统计定理之一&＃xff0c;是学习统计学绕不过的坎儿。不过好在这个概念实际上不难理解&＃xff0c;看过下面这些例子&＃xff0c;你也会觉得它其实蛮简单的。这些例子从反方面着手&＃xff0c;我们很容易就能清楚地理解CLT了。
例1
取一个均匀分布(从0到1&＃xff0c;称为均匀分布&＃xff0c;因为在0和1之间选择值的概率相等&＃xff0c;因此它的概率密度函数(PDF)就是水平的黑色直线)。现在&＃xff0c;假设从这个分布(绿点)中随机抽取20个样本&＃xff0c;并计算这些样本的均值&＃xff0c;最后得到一个值&＃xff0c;在本例中&＃xff0c;黑色点线表示0.5。
继续在直方图上绘制这个均值。因为此直方图目前只有一个均值&＃xff0c;除此之外没有任何信息(下图1)。继续从相同的分布中随机抽取更多的样本&＃xff0c;计算各自的均值并再次在直方图上绘制这些均值&＃xff0c;便开始得到一个有趣的输出(下图2)。
随着不断从均匀分布中随机取出越来越多的样本&＃xff0c;并不断在直方图上绘制样本均值&＃xff0c;我们可以得到一个正态分布的结果(右曲线)。
推论&＃xff1a;从均匀数据分布开始&＃xff0c;但是从中抽取的样本均值结果为正态分布。
例2
在第二例中进行与例1相同的步骤&＃xff0c;唯一不同的是&＃xff0c;这次将从指数分布中抽取样本。
再次随机抽取20个样本&＃xff0c;计算样本的均值&＃xff0c;并将其绘制在直方图上。以此类推&＃xff0c;在此指数数据分布中抽取大约100个样本&＃xff0c;直方图如下所示。没错&＃xff0c;样本的均值结果是正态分布&＃xff01;
推论&＃xff1a;从指数数据分布开始&＃xff0c;但从中抽取的样本均值为正态分布。
此时CLT的含义就变得非常直观了。它意味着&＃xff0c;即使数据分布不是正态的&＃xff0c;从中抽取的样本均值的分布也将是正态的。
了解样本均值总是*呈正态分布有什么实际意义&＃xff1f;
分析学领域从来少不了各种各样的数据&＃xff0c;而源数据的分布我们不一定了解&＃xff0c;但有了CLT&＃xff0c;我们甚至不需要考虑这种情况&＃xff0c;因为均值永远为正态分布&＃xff0c;完全没有必要担心源数据的分布。
(注*-为了应用CLT&＃xff0c;必须能够计算样本的均值。Cauchy分布没有样本均值&＃xff0c;因此CLT不适用于该分布&＃xff0c;但除了Cauchy&＃xff0c;笔者没有遇到任何其他分布不适用于CLT的情况&＃xff0c;因此&＃xff0c;CLT可以适用于任何其他分布。)
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我们能利用CLT作答还有很多&＃xff1a;
· 可以利用均值的正态分布来确定置信区间。
· 在使用样本均值的情况下&＃xff0c;可以进行任何统计检验。
· 可以进行t检验(即&＃xff0c;利用两个样本的均值之间存在差异的特点)
· 可以进行方差分析测试(即&＃xff0c;利用3个或3个以上样本的均值之间存在差异的特点)
本文涵盖了所有在处理数据和样本时应该了解的中心极限定理&＃xff0c;你掌握了吗&＃xff1f;
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