卷积的物理意义_傅里叶变换系列学习（5)如何正确理解卷积

为了进一步阐述傅里叶系列&＃xff0c;本章引入了新的知识点&＃xff0c;

函数和卷积&＃xff0c;为了引入这两个东西&＃xff0c;我们又有必要了解一下线性时不变系统&＃xff08;LTI)&＃xff0c;本章的知识点好像有点多啊。

信号与系统里面的惯例写法&＃xff1a;

连续信号&＃xff1a;x(t)

离散时间信号&＃xff1a;x(nT)

离散信号&＃xff1a;x[n]

连续频域&＃xff1a;

离散频域&＃xff1a;X[n]

以上&＃xff0c;n都是整数&＃xff0c;其他数是实数。

时域信号都用小写&＃xff0c;频域信号都用大写&＃xff0c;离散信号用[]&＃xff0c;非离散信号用()

1. LTI( Linear Time Invariant&＃xff09;

我们只讨论LTI&＃xff0c;为什么&＃xff1f; 1. 难&＃xff0c;一般人研究不了&＃xff1b;2. LTI足以应付大部分系统。需要注意的是&＃xff0c;如果你在非LTI系统中&＃xff0c;那么LTI的特性万万不要轻易使用。

1.1 先看linear

线性&＃xff0c;就是线性代数里面的线性。数学家喜欢用公式描述线性变换。

连续信号&＃xff1a;

对于一个系统&＃xff0c;

的响应是

&＃xff0c;

的响应是

&＃xff0c;对于输入信号

&＃xff0c;如果系统的响应是

&＃xff0c;则称系统是线性系统。

离散信号&＃xff1a;(把上面的连续信号换成离散信号&＃xff09;

对于一个系统&＃xff0c;

的响应是

&＃xff0c;

的响应是

&＃xff0c;对于输入信号

&＃xff0c;如果系统的响应是

&＃xff0c;则称系统是线性系统。

线性的概念&＃xff0c;数学上就是输入乘以标量&＃xff0c;输出也乘以标量&＃xff1b;对于信号来说&＃xff0c;输入信号幅度变大多少倍&＃xff0c;输出信号也变大多少倍&＃xff1b;

线性的概念&＃xff0c;还有一个就是叠加的概念&＃xff1b;把两个或多个信号叠加&＃xff0c;系统的响应等于原先各个信号响应的叠加。

1.2 时不变(Time-invariant)

时不变系统就是系统的响应不依赖于当前的时间。打个比方&＃xff0c;我在早晨9点打开电脑&＃xff0c;电脑开机&＃xff0c;这个响应&＃xff0c;跟我晚上10点开机的响应是一样的&＃xff1b;电脑不会因为开机的时间不同而响应不同&＃xff0c;这就叫时不变。再打个比方&＃xff0c;我上午9点开机&＃xff0c;系统正常开机&＃xff1b;晚上开机的时候&＃xff0c;因为电脑进水&＃xff0c;开机失败&＃xff0c;这样的系统就变成了时变系统了&＃xff1b;系统因为时间不一样&＃xff0c;对于同一个输入&＃xff0c;响应不一样。

数学家还是喜欢用简单就是美的公式描述:

信号

的响应是

&＃xff0c;如果

的响应是

,则系统是

对应的

信号

的响应是

&＃xff0c;如果

的响应是

,则系统是

离散域的时不变也有的地方称为移不变。

当然了&＃xff0c;有人会从哲学的高度讲“人不能两次踏入同一条河流”来否认时不变系统。确实&＃xff0c;真正的时不变系统只存在于数学公式&＃xff0c;现实世界从来都没有严格的时不变系统&＃xff0c;因为长期的看&＃xff0c;好的必然变坏&＃xff0c;生的必然要死去&＃xff1b;所以一般都是假设&＃xff0c;短期内&＃xff0c;系统是时不变系统。

对于系统的其他特性&＃xff0c;暂时先不描述&＃xff0c;因为暂时没有用到&＃xff0c;需要用的时候再描述。

2.

2.1 离散域

信号

先看看离散域的

信号。

离散域的

信号就是一个只在n&＃61;0的时候等于1&＃xff0c;其他点都等于0的信号&＃xff0c;单从数学上看&＃xff0c;美得很。

按照定义&＃xff0c;对于离散序列x[n], 很容易得到

更进一步&＃xff0c;把上面的1换成任意整数&＃xff1a;

显然我们可以看到

函数具备的一个明显的特性&＃xff0c;筛选特性&＃xff0c;筛选想要的序列&＃xff0c;滤到其余序列。更一步&＃xff0c;我们每次筛选出的序列中的一个&＃xff0c;从

筛选到

,然后再把所有筛选出来的累加起来&＃xff0c;又得到了原序列。数学表达式就是&＃xff1a;

因为

&＃xff0c;所以上面的公式进一步写成

来来回回&＃xff0c;上面的公式写的就是信号

可以由信号本身与

信号卷积得到。证明过程就在上面&＃xff0c;后面我们再看看什么是卷积。

2.2 连续域

函数

当把这个离散域定义得极好信号扩展到连续函数的时候&＃xff0c;似乎很难实现。如何定义对于只在0点有值&＃xff0c;非0点都是0的函数&＃xff1f;在数学上&＃xff0c;似乎是一个可去间断点定义成这个样子。这样的定义对于连续函数来说&＃xff0c;显然是没有物理意义的。按照这样的定义&＃xff0c;函数的能量是0。在连续域里面&＃xff0c;因为只有一个可去间断点&＃xff0c;所以能量为0。好了&＃xff0c;数学家们经过深思熟虑&＃xff0c;给了下面的定义&＃xff1a;

显然&＃xff0c;它是有能量的&＃xff0c;但这也是一个相当变态的定义&＃xff0c;从积分意义上讲&＃xff0c;函数的面积是1&＃xff0c;但是它的宽是0&＃xff0c;所以这个函数的高应该是无穷大。想象一下&＃xff0c;在时间轴上&＃xff0c;一个函数&＃xff0c; 从

到t&＃61;

的时候都是0&＃xff1b;t&＃61;0的时候&＃xff0c;一下子变成无穷大&＃xff1b;然后

的时候&＃xff0c;这个函数的值又变成了0。

函数就是这么一个函数。

对于这样的函数&＃xff0c;在物理上如何实现&＃xff0c;又要用极限大法了。定义一个矩形或者是三角形&＃xff0c;然后让它的底边长度趋向于0。显然&＃xff0c;物理上不存在这样的信号。

在离散域&＃xff0c;

信号具备筛选特性&＃xff1b;在连续域呢&＃xff0c;我们换一个名词&＃xff0c;叫做抽样特性。也是类似的

&＃xff0c;由于连续域的

函数还有积分为1的特性&＃xff0c;所以又有下面的特性

通过

信号&＃xff0c;我们可以抽样出函数

在任意时刻的值。

有了

信号&＃xff0c;我们可以把x[n]&＃xff0c;x(t) 和 x(nT)&＃xff08;已量化&＃xff09; 联系起来&＃xff0c;离散信号可以又连续信号采样后量化得到&＃xff08;这里暂时忽略一下量化&＃xff09;。

通过采样和量化&＃xff0c;连续的模拟信号变成了离散的数字信号&＃xff0c;可以通过数字信号的处理方法进行处理&＃xff0c;处理完后&＃xff0c;再由数字信号重构称模拟信号&＃xff0c;这整个过程就是数字信号处理过程。

3.卷积

终于讲到卷积了。卷积好像也是一个学习的难点。

卷积的介绍&＃xff0c;还是先从离散域考虑。

3.1 离散卷积

回到2.1节里面描述的公式&＃xff1a;

&＃xff0c;这个公式显然是成立的&＃xff0c;当你把右边的sigma求和展开时&＃xff0c;自然等于左边。当时我就说过&＃xff0c;这个等式还有一个重要的意义就是它表示一个卷积公式&＃xff0c;表示的是序列x[n]和

信号卷积后&＃xff0c;还等于自身。

关注这个公式&＃xff0c;第一项和第二项的系数和是n&＃xff0c;也就是序列x[n]的n&＃xff0c;然后等式右边经过卷积运算&＃xff0c;k没有了&＃xff0c;最后只剩下n。

在此基础上&＃xff0c;把序列x[n]输入到系统H&＃xff0c;得到的输出是y[n]&＃xff1b;假设

代入

得到&＃xff0c;

因为是线性系统&＃xff0c;

表示幅度&＃xff0c;所以

记

&＃xff0c;亦即

&＃xff08;这里是因为时不变特性&＃xff09;&＃xff0c;那么就有了著名的卷积公式&＃xff1a;

也可以写成

其中h[n]为系统对

信号的响应&＃xff0c;也称h[n]为系统的冲击响应。

下面从字面上解读一下这个公式。

在解读卷积公式之前&＃xff0c;先厘清概念&＃xff0c;概念不厘清&＃xff0c;永远都是稀里糊涂的。

h[n]是表示一个序列还是序列中某个特定的项。对于n的不同理解&＃xff0c;卷积的理解也完全不一样。当把h[n]看成一个特定项的时候&＃xff0c;有了网上的各种非常精彩的解释&＃xff0c;比如掷色子/打肿脸等&＃xff0c;核心都是反折&＃xff0c;平移&＃xff0c;相乘&＃xff0c;累加。我再简单重复一遍。

3.1.1 y[n]&＃xff0c;h[n]标识为某个特定项

在这个前提下&＃xff0c;我们举个简单的例子&＃xff0c;想象一下下面的图中的输入信号x[n]&＃xff0c;系统的冲击响应是h[n]。

在这个系统中&＃xff0c;输入信号有3个有效值&＃xff0c;x[0]&＃xff0c;x[1]&＃xff0c;x[2]分别表示时刻0&＃xff0c;时刻1和时刻2的输入&＃xff1b;冲击响应有两个h[0]和h[1]&＃xff0c;h[0]表示系统0延迟的响应&＃xff0c;h[1]表示系统延迟为1的响应。

step 0&＃xff0c;计算y[0]&＃xff0c;我们只需要关注x[0]信号的h[0]的响应x[0]h[0]&＃xff0c;输入在0时刻&＃xff0c;延时为0&＃xff0c;所以系统在0时刻的响应y[0]&＃61;x[0]h[0]&＃xff1b;&＃xff08;这里注意到信号的输入时刻与delay的时刻之和为0&＃xff09;

step 1&＃xff0c;计算y[1]&＃xff0c;我们需要关注系统在0时刻的输入x[0]信号&＃xff0c;它有一个延迟为1的响应x[0]h[1]&＃xff1b;系统在1时刻的输入x[1]信号&＃xff0c;它有一个延迟为0的响应x[1]h[0]&＃xff1b;没有其他信号的响应能满足在时刻1有输出&＃xff0c;所以y[1]&＃61;x[0]h[1]&＃43;x[1]h[0]&＃xff08;这里注意到信号的输入时刻与delay的时刻之和为1&＃xff09;

step 2&＃xff0c;计算y[2]&＃xff0c;0时刻的输入&＃xff0c;由于没有delay为2的响应&＃xff0c;所以0输入就不用考虑了&＃xff1b;对于时刻1的输入&＃xff0c;它的0 delay的响应&＃xff0c;显然不会在时刻2到达系统&＃xff0c;而对于它的1 delay的响应则对y[2]有贡献x[1]h[1]&＃xff1b;对于时刻2的输入&＃xff0c;它的0 delay的响会在时刻2有输出有贡献&＃xff0c;贡献值是x[2]h[0]&＃xff1b;此外没有其他信号的响应能满足在时刻2有输出&＃xff0c;所以y[2]&＃61;x[1]h[1]&＃43;x[2]h[0]&＃xff08;这里注意到信号的输入时刻与delay的时刻之和为2&＃xff09;

step3&＃xff0c;以此类推&＃xff0c;我们可以得到y[3]&＃61;x[2]h[1]&＃43;x[3]h[0]。

更进一步&＃xff0c;对于时刻n&＃xff0c;对该时刻有贡献的响应是...,

,

,

,

,...,

&＃xff0c;...&＃xff0c;累加起来也就是

3.1.2 y[n]&＃xff0c;h[n]标识为序列

1. 在这里&＃xff0c;n是一个变量&＃xff0c;所以x[n]是一个序列&＃xff0c;其他的符号&＃xff0c;比如x[k]&＃xff0c;就认为是某个特定的项。
2. 有了第一条&＃xff0c;我们再看x[n-k]&＃xff0c;这就是把序列x[n]延时k个单位&＃xff1b;相反&＃xff0c;x[n&＃43;k]就是x[n]序列提前。

再来看公式

&＃xff0c;从时刻0开始算起&＃xff0c;x[0]表示0时刻&＃xff0c;强度为x[0]的冲击信号&＃xff0c;因为

的冲击响应是h[n]&＃xff0c;那么强度为x[0]的冲击信号所产生的响应就是x[0]h[n]&＃xff1b;类似的&＃xff0c;x[k]表示k时刻的强度为x[k]的冲击信号&＃xff0c;它的响应比如也是要延迟k的单位&＃xff0c;即x[k]h[n-k]&＃xff1b;由数学归纳大法&＃xff0c;我们就可以把所有信号的响应都加起来

&＃xff0c;

&＃xff0c;

&＃xff0c;...&＃xff0c;

&＃xff0c;....&＃xff0c;即

。

举个栗子

对于某个系统&＃xff0c;冲击响应是

&＃xff0c;也就是一个冲击&＃xff0c;经过系统后变成了两个冲击 。

依旧使用上面的x[n]&＃xff0c;然后

&＃xff0c;我们一步步的做乘法&＃xff0c;然后做加法&＃xff0c;得到下面的图片。

从上面的图中&＃xff0c;我们可以看到&＃xff0c;x[0]h[n-0]计算得到的是y[0]和y[1]的一部分&＃xff0c;x[1]h[n-1]计算得到的是y[1]和y[2]的一部分。可见&＃xff0c;在不同前提条件下&＃xff0c;对同一个公式我们有不同的理解。真正理解后&＃xff0c;其实会发现&＃xff0c;两种理解本质是一样的。

换个视角

对于输入时h[n]&＃xff0c;冲击响应是x[n]的系统&＃xff0c;它的输出y[n]是什么&＃xff1f;

相当于我们再次复习了一遍图解的过程&＃xff0c;大家欣喜的看到

这就是卷积的交换律。

其实&＃xff0c;数学家不需要画这么多图&＃xff0c;数学家最擅长的就是公式变换&＃xff0c;且看&＃xff1a;

&＃xff0c;令m&＃61;n-k&＃xff0c;则k&＃61;n-m&＃xff0c;代入就得到

&＃xff0c;所以

。

简单就是美&＃xff0c;数学家从来不需要多余的东西。

另外&＃xff0c;对于长度是M和N的序列&＃xff0c;卷积后&＃xff0c;长度是M&＃43;N-1&＃xff0c;比如上面的例子&＃xff0c;M&＃61;2&＃xff0c;N&＃61;3&＃xff0c;卷积后序列有效长度是4。证明很简单&＃xff0c;对于长度为M的序列&＃xff0c;它需要delay &＃xff08;0次&＃xff0c;1次&＃xff0c;...&＃xff0c;N-1次&＃xff09;&＃xff0c;最终长度就是M&＃43;N-1。

下面再看连续域

3.2 连续卷积

3.2.1 定义

这个小节&＃xff0c;我们从定义出发。

对于系统H&＃xff0c;

的响应是

&＃xff0c;记为

相应的&＃xff0c;对于

&＃xff0c;系统的响应是

在2.2小节&＃xff0c;我们得到了

&＃xff0c;在这里继续运用一下数学的小技巧&＃xff0c;尝试一下代换&＃xff1a;

&＃xff0c;

,我们得到

&＃xff0c;由于

,所以

,代入到

就得到

因为我们的系统是线性的&＃xff0c;

表示幅度&＃xff0c;所以有

又因为我们的系统是时不变的&＃xff0c;并且

&＃xff0c;所有

&＃xff0c;所以继续有

上面的公式就是连续域的卷积公式。

3.2.2 离散到连续&＃xff0c;运用极限大法

&＃xff0c;先回顾离散公式。换成连续域的时候&＃xff0c;我们把输入x[n]序列中的特定项x[k]换成高

宽度为

的小脉冲。对于离散的冲击响应

&＃xff0c;它的输入是面积为1的

信号&＃xff1b;对应到连续域&＃xff0c;我们把面积为1的连续

信号&＃xff0c;它的冲击响应是

,所以对照离散公式&＃xff0c;一一替换&＃xff0c;我们就可以得到

&＃xff0c;令

&＃xff0c;即可得到

更进一步&＃xff0c;如果系统是因果系统&＃xff08;在没有输入的情况下&＃xff0c;没有输出&＃xff0c;这样的系统就是因果系统&＃xff09;&＃xff0c;因果系统的t时刻的输出不取决于t时刻之后的输入。

在因果系统下&＃xff0c;

这个公式可以这样记忆&＃xff1a;系统某个时刻的输入

&＃xff0c;对于这个输入相对于时刻0已经delay了

个时间单位&＃xff0c;因此它的响应也应该delay相同的时间&＃xff0c;就是

&＃xff0c;把所有的时刻的输入累加求和&＃xff0c;即得。

这个记忆方法&＃xff0c;其实&＃xff0c;跟我在3.1.2中描述离散卷积的方法&＃xff0c;一样。

下次再撩。