关系数据库的代数性质（一）

                                                                 
关系数据库的代数性质
                                                                  前言
       本文只是尝试利用代数的方法推倒关系数据库的一些性质。下面简要回顾一下关系数据库的发展： 1） CODASYL于1962发表“信息代数”一文。 2） E.F.Codd从1970起发表了序列的论文。 3） 20世纪70年代末的实验系统System R 和Ingres。 4） 从20世纪80年代逐步走向成熟。        本文的一些想法是受关系数据库代数性质的启发，同时也避免抄袭前人的成果，写本文纯属回顾大学接受的代数知识。                            一 基本定义       从数学的角度来讲，一个关系数据库表是一个向量的集合。为了研究关系数据库的代数性质，有必要先做一些基本的定义。       定义(1)：              
S = {x| x
∈
D₁X D₂…X…D_N}
，
D_i(1<=i <=N)是x第i分量的值域。称这样的
S是一个
N元关系集合。即若
x
∈
S，则
x=(d₁,…,d_i,…, d_N)，其中
d_i
∈
D_i。         定义(2)：        称
0_i 是
D_i(1<=i <=N)的
NULL值。        定义(3)：               对于
x=(d₁,…,d_i,…, d_N)，称
x
_δ
(i)
=( 0₁,…, 0_i-1, d_i, 0_i+1,…0_N)是
x在
D_i(1<=i <=N)上的投影，其中
d_i=0_i。               称
x
_{δ
(i)…
δ
(j)}为
x在
D_ix…D_j上的投影，其中
x的分量
d_i
≠
0_i,…, d_j
≠
0_j,
              并且
1<=i<=j<=N。
      定义(4)：        定义映射
F，
F满足以下的关系，即：        
F(x)=
x
_{δ
(i)…
δ
(j)}，
x
_{δ
(i)…
δ
(j)}是
x在
D_ix…xD_j上的投影，
x
∈
S。       由于
x
_{δ
(i)…
δ
(j)}是
x在
D_ix…xD_j上的投影是惟一的，所以很容易验证
F是一个映射。     定义（5）    对于任意的投影域
D=
D_kx…xD_p，构造集合
S(D)={ D_k,…, D_p}，称投影域
D_kx…xD_p ix…xD_j ，如果
S(D_kx…xD_p)ix…xD_j)。其中集合的
<是真子集关系。    定义（6）    对于投影域
D_kx…xD_p，称这样的运算
τ：   
τ
(x)
∈
D_kx…xD_p，
x
∈
S    为
S对
D_kx…xD_p的投影运算。 接着，先利用定义(4)来构造一个集合
J：    
J={
x
∈
S | φ(F(x))=x，
τ
(F(x))
∈
D_ix…D_j},
φ是
F的反函数。    现在，将对
J的各种情况解释。 1）若投影域是
D_ix…xD_j，如果
J=Φ，且
S的个数大于1，那么
S的元素在
D_ix…xD_j的投影重复。如果
i=1，
j=N那么的
S元素是重复的。 2）若投影域是
D_ix…xD_j，如果
J<
S(真子集关系
)，且
S的个数大于1，那么
S的元素在
D_ix…xD_j的投影部分重复。如果
i=1，
j=N那么的
S元素部分重复。 3）若投影域是
D_ix…xD_j，如果
J=
S，那么
S的元素在
D_ix…xD_j的投影不重复。如果
i=1，
j=N那么的
S元素不重复。 4）在3)的基础上，称
D_ix…xD_j是关键投影域。 定义(7) 极小关键投影域: 称
D_ix…xD_j是极小关键投影域，对于任意的投影域
D，根据定义(5)有：
Dix…xD_j，且
（1）J={
x
∈
S | φ(F(x))=x，
τ
(F(x))
∈
D}
（2）J<
S 称极小关键投影域是
S的关键字域，称其他不存在极小关键投影域的投影域为非关键字域。 由极小关键投影域的定义，很显然可以知道对于任何的关键投影域必存在极小关键投影域。 思路受到阻塞，并且在思考写下去的意义！如果要写下去，必须写什么方面的内容？ 待续&＃8230;&＃8230;!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!