对傅立叶变换（FT）频谱平移的理解

对于一维函数：未平移前，FT的一个周期是沿原点对称分布的。讨论DFT，假设频率范围为[0，1，……，M－1，M]，则DFT的频谱分布在原点0的两侧，左：[M/2，M/2-1，……，0]，右侧[0，……，M/2-1，M/2]

同样，将上述道理用于理解二维函数（比如图像数据）：FT的中心位于频率矩形的中点——假设u,v为频率自变量，则在u方向的FT和沿v方向的FT是沿原点对称分布的，而原始图像的原点在左上角（故FT图像的原点也在左上角），这就导致一幅图像的FT图像由相邻的四个FT周期的1/4组成，如下图所示：

频谱平移使用fftshift来重排数据，相当于把FT图像的原点移到了频率矩形的原点（左上角），如下图所示：

//关于频率矩形：设u方向的频率范围为[0，M]，v方向的频率范围为[0,N]，则矩形[（0，0）（M，0）（M,N）（0,N）]即频率矩形。

示例：

图像生成：

>> I=zeros(255,255);

>> I(100:155,100:155)=1;

>> imshow(I)

傅立叶变换并显示幅值谱：

>> F=fft2(I);

>> S=abs(F);figure

>> imshow(S,[])

图上，四个角的亮点是由于FT的周期性导致的结果（分析见上文）。

经过频谱平移后的图像为：

>> Fc=fftshift(F);figure,imshow(abs(Fc),[])

亮度区域不明显，不方便观察——因为频谱的动态范围太大了，与8比特显示（此时中心处的明亮值占支配地位）相比要大得多。

可以知道

>> max(max(abs(F)))

ans =

      799680 %此值很大！

为此，可以使用对数变换来压缩动态范围。

>> S2=log(1+abs(Fc));imshow(S2,[])

>> max(max(abs(S2)))

ans =

   13.5920

可以看到，动态范围已降至13.5920，更方便观察与处理。