原来各种滤波都是贝叶斯滤波算法的实现哦~

求\(\eta\)（归一化方法）：

似然概率与狄拉克函数

X：状态 Y：观测

重要定理：

若\(f_X(x)\rightarrow N(μ_1,\sigma^2)\)，\(f_{Y|X}(y|x)\rightarrow N(μ_2,\sigma_2^2)\)，则：

可继续推出：

随机过程的贝叶斯滤波

1~5讲，X先验，Y观测，仅有一个X，一个观测Y

随机过程\(X_0\rightarrow X_1 \rightarrow……\rightarrow X_k\)有一个初值\(X_0\)，有k个观测值\(y_1,y_2,……,y_k\)，怎么办？

1. 所有的\(X_0, ……, X_k\)的先验概率都靠猜

   • 缺点：过于依赖观测（似然），放弃了预测（先验）信息

     例如：\(X_k=2X_{k-1}+Q_k\) \(X_k=X_{k-1}^2+Q_k\)

2. 只有\(X_0\)的概率是猜的，\(X_1,……,X_k\)得先验概率是递推的

怎么做？

1. 马尔科夫假设，观测独立假设
2. 状态方程，观测方程（建模）

分两步：

1. 预测步：上一时刻的后验\(\rightarrow\)这一时刻的先验（通过状态方程得到）
2. 更新步：这一时刻的先验\(\rightarrow\)这一时刻的后验/下一时刻的先验

即：\(X_0\rightarrow X_1^-\rightarrow X_1^+\rightarrow X_2^- \rightarrow X_2^+……\)

贝叶斯滤波很大的缺点：从\(f_{k-1}^-\)到\(f_k^-\)，算\(\eta\)、期望都要进行无穷积分，大多数情况下无法得到解析解。

解决：

1. 作假设
   • \(f(X_{k-1})、h(X_k)\)为线性，\(Q_k,R_k\)为正态高斯分布（卡尔曼滤波）
   • \(f(X_{k-1})、h(X_k)\)为非线性，\(Q_k,R_k\)为正态高斯分布（扩展卡尔曼滤波，即EKF、UKF等）
2. 霸王硬上弓，直接对无穷积分作数值积分
   • 高斯积分（不常用）
   • 蒙特卡洛积分（粒子滤波Particle Filter）
   • 直方图滤波

贝叶斯滤波算法

原料：

1. \(X_k=f(X_{k-1})+Q_k\)

2. \(Y_k=h(X_k)+R_k\)

   其中：\(X_k、X_{k-1}、Y_k、Q_k、R_k\)都是随机变量

3. 假设：\(X_0，Q_1,……,Q_k,R_1,……,R_k\)相互独立

4. 有观测值：\(y_1,y_2,……,y_k\)，设初值\(X_0->f_0(k),Q_k->f_{Q_k}(x),R_k->f_{R_k}(x)\)

5. 重要定理：条件概率里的条件可做逻辑推导

计算步骤：

初值： \(X_0\rightarrow f_0^+(x)\)

预测：\(f_k^-(x)= \int_{-\infty} ^{+\infty} {f_Q[x-f(v)]f_{k-1}^+(v)}dv\)

更新：\(f_k^+(x)=\eta f_R[y_k-h(x)]f_k^-(x)\)

其中：\(\eta = (\int_{-\infty}^{+\infty}f_R[y_k-h(x)])^{-1}\)

估计：\(\hat x_k^+= \int_{-\infty}^{+\infty}xf_x^+(x)dx\)

贝叶斯滤波的实现之卡尔曼滤波

1. Filter问题：请用计算机生成一个含正态噪声的信号，并用Kalman Filter滤波
2. Sensor Fusion传感器融合：

使用matlab、C、C++、python

tips：

1. 使用矩阵形式而不是一阶
2. F、H可以不是方阵，阶数也可以不相同
3. 泰勒展开

粒子滤波

应用广泛，原理最复杂，术语最多

适用环境：静态环境，动态可预测环境 。如：电池电量估算，视频跟踪，封闭环境导航（激光雷达+pf slam）

缺点：无穷积分，一般无解析解

粒子滤波完整算法：

1. 给初值\(X_0\rightarrow N(μ,\sigma^2)\)；
2. 生成\(x_0^{(i)},w_0^{(i)}= \frac1n\)；
3. 预测步，生成\(x_1^{(i)}=f(x_0^{(i)}+v,v\)为\(N(0,Q)\)的随机数，共\(n\)个；
4. 更新步，设观测值为\(y_1\)，生成\(w_1^{(i)}=f_R[y_1-h(x_1^{(i)})]*w_0^{(i)}\)；
5. 将\(w_1^{(i)}\)归一化，\(w_1^{(i)}=\frac {w_1^{(i)}}{\sum w_1^{(i)}}\)；
6. 此时，得到新的粒子\(x_1^{(i)}\)，新的权重\(w_1^{(i)}\)；
7. 再由预测步生成\(x_2^{(i)}=f(x_1^{(i)})+v\)；
8. 再由更新步生成\(w_2^{(i)}=f_R[y_2-h(x_2^{(i)})]w_1^{(i)}\)，归一化；
9. 如此递推……

粒子滤波总结：

1. 由大数定律，暗示了\(pdf\)可由带权重（简单地理解为平均值）的粒子表示；
2. 粒子数量，粒子位置，粒子权重完全决定了\(cdf\)（概率分布函数），同时即决定了\(pdf\)（概率密度函数）；
3. 预测步改变粒子位置；
4. 更新步更新粒子权重。

原来各种滤波都是贝叶斯滤波算法的实现哦~