t分布u分布卡方分布_几种分布概述（正态分布/卡方分布/F分布/T分布）

几种分布概述(正态分布/卡方分布/F分布/T分布)

搞清楚了下面的几种分布&＃xff0c;在置信区间估计、显著性检验等问题中就会收到事半功倍的效果。come on~&＃xff01;

正态分布&＃xff1a;正态分布(Normal distribution)又名高斯分布(Gaussiandistribution)&＃xff0c;若随机变量X服从一个数学期望为μ、方差为σ^2的高斯分布&＃xff0c;记为N(μ&＃xff0c;σ^2)。其概率密度函数为正态分布的期望值μ决定了其位置&＃xff0c;其标准差σ决定了分布的幅度。我们通常所说的标准正态分布是μ &＃61; 0,σ &＃61; 1的正态分布。

当μ&＃61;0&＃xff0c;σ&＃61;1时&＃xff0c;正态分布就成为标准正态分布N(0&＃xff0c;1)。概率密度函数为&＃xff1a;

2017-9-20 18:54:33 上传

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正态分布的密度函数的特点是&＃xff1a;关于μ对称&＃xff0c;并在μ处取最大值&＃xff0c;在正(负)无穷远处取值为0&＃xff0c;在μ±σ处有拐点&＃xff0c;形状呈现中间高两边低&＃xff0c;图像是一条位于x轴上方的钟形曲线。

卡方分布&＃xff1a;若n个相互独立的随机变量ξ₁、ξ₂、……、ξn &＃xff0c;均服从标准正态分布N(0,1)(也称独立同分布于标准正态分布)&＃xff0c;则这n个服从标准正态分布的随机变量的平方和

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构成一新的随机变量&＃xff0c;其分布规律称为

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分布(chi-squaredistribution)。其中参数n称为自由度(通俗讲&＃xff0c;样本中独立或能自由变化的自变量的个数&＃xff0c;称为自由度)&＃xff0c;正如正态分布中均值或方差不同就是另一个正态分布一样&＃xff0c;自由度不同就是另一个分布。记为

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分布的均值为自由度 n&＃xff0c;记为 E() &＃61; n&＃xff1b;分布的方差为2倍的自由度(2n)&＃xff0c;记为 D() &＃61; 2n。

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从分布图可以看出&＃xff1a;分布在第一象限内&＃xff0c;卡方值都是正值&＃xff0c;呈正偏态(右偏态)&＃xff0c;随着参数 n 的增大&＃xff1b;分布趋近于正态分布&＃xff1b;随着自由度n的增大&＃xff0c;分布向正无穷方向延伸(因为均值n越来越大)&＃xff0c;分布曲线也越来越低阔(因为方差2n越来越大)。

t分布&＃xff1a;首先要提一句u分布&＃xff0c;正态分布(normal distribution)是许多统计方法的理论基础。正态分布的两个参数μ和σ决定了正态分布的位置和形态。为了应用方便&＃xff0c;常将一般的正态变量X通过u变换[(X-μ)/σ]转化成标准正态变量u&＃xff0c;以使原来各种形态的正态分布都转换为μ&＃61;0&＃xff0c;σ&＃61;1的标准正态分布(standard normaldistribution),亦称u分布。根据中心极限定理&＃xff0c;通过抽样模拟试验表明&＃xff0c;在正态分布总体中以固定 n 抽取若干个样本时&＃xff0c;样本均数的分布仍服从正态分布&＃xff0c;即N(μ&＃xff0c;σ)。所以&＃xff0c;对样本均数的分布进行u变换&＃xff0c;也可变换为标准正态分布N (0,1)

由于在实际工作中&＃xff0c;往往σ(总体方差)是未知的&＃xff0c;常用s(样本方差)作为σ的估计值&＃xff0c;为了与u变换区别&＃xff0c;称为t变换&＃xff0c;统计量t 值的分布称为t分布。假设X服从标准正态分布N(0,1)&＃xff0c;Y服从(n)分布&＃xff0c;那么Z&＃61;X/sqrt(Y/n)的分布称为自由度为n的t分布,记为 Z&＃xff5e;t(n)。

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可以看出&＃xff0c;t分布以0为中心&＃xff0c;左右对称的单峰分布&＃xff1b;t分布是一簇曲线&＃xff0c;其形态变化与n(确切地说与自由度ν)大小有关。自由度ν越小&＃xff0c;t分布曲线越低平&＃xff1b;自由度ν越大&＃xff0c;t分布曲线越接近标准正态分布(u分布)曲线。

F分布&＃xff1a;设X、Y为两个独立的随机变量&＃xff0c;X服从自由度为n的分布&＃xff0c;Y服从自由度为m的分布&＃xff0c;这两个独立的卡方分布除以各自的自由度以后的比率服从F分布。即&＃xff1a;

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F分布是一种非对称分布&＃xff1b;它有两个自由度&＃xff0c;即n-1和m-1&＃xff0c;相应的分布记为F( n–1&＃xff0c;m-1)&＃xff0c; n-1通常称为分子自由度&＃xff0c; m-1通常称为分母自由度&＃xff1b;F分布是一个以自由度(n-1)和(m-1)为参数的分布族&＃xff0c;不同的自由度决定了F 分布的形状。