我好菜啊。。。数学不会数据结构不会博弈不会图论也不会，现在构造也不会了。。。
今天看似来了俩构造。然而一个是凭空想象的结论题（好难证。。。）还有一个是提答
于是我就凭空想象了，然而我菜所以猜错了，然后炸了，倒是也比多数人多了$10pts$
于是我就去提答了，然而这道题如果想认真写的话分数都不低，然后拿了个大概大众分就结束了
然后最后还有点时间写$T2$暴力的$20pts$来着 ，这时候突然钻出来了一个牛爷爷（窗口抖动）问我提答怎么交
我懵了（为啥不直接问教练），然后反正我最后暴力没交上去，我就无了
（牛爷爷天天$rk1$啊，这不是我说的）
（话说以前提答题都是怎么交上去的。。？）
T1：心的旋律（circle）
大意：构造一个两侧都有$n$个点的二分图，要求$k = \sum\limits_{A \subseteq [1,n]} [ |f(A)|<|A| ] $。$f(A)$指$A$集合点的所有出边到达的点的并集。$n \le 32,k \le 2^n$
首先$<$的限制比较麻烦，我们把条件改成大于等于（同时把$k$也改成$2^n-k$）。把$\sum$那个式子叫做一个图的 对应值 。
首先如果$k=0$，由于空集的存在，无解。
然后我们只要猜到：可以构造一种图满足左侧点连的右侧点集合为包含关系，且如果存在大小为$x$的集合就存在大小为$x-1$的集合。
为了方便我们强制集合就是一个$[1,size_i]$的前缀。同时把所有左侧点按照$size$排序。
然后这个图就相当于一个单调不减的$size$序列且满足$0 \le size_{i-1} \le size_i \le 1$。
我们设所有$size_i - size_{i-1} =1$的位置$i$我们把它丢进一个$B$集合里。设$m=|B|$
那么这个图的对应值就是：
$\sum\limits_{i=1}^{m} \binom{n}{i} - \sum\limits_{i=1}^{m} \binom{B_i-1}{i}$
需证：
1）对于任意$m$，大小为$m+1$的$B$集合对应的值比大小为$m$的大（设这个问题为$proof(n,m)$）
也就是说，大小为$m+1$的$B$集合对应的最小值 比 大小为$m$的$B$集合的对应最大值 要大。
我们作差一下，减号前面的部分抵消只剩下一项$\binom{n}{m+1}$
大小为$m+1$的集合要尽量小，也就是后面减去的集合要尽量大，那么就满足$B_i=n+i-(m+1)$
然后后面的那堆组合数就是$\sum\limits_{i=1}^{m+1} \binom{n+i-m-2}{i}$
这是一条斜线上的组合数求和，也就相当于是一列，直接组合恒等式干掉，得到这玩意就是$\binom{n}{m+1}-1$
所以$minval(m+1)-maxval(m)=1$
2）对于$m$相同时，$B$对应二进制下较大的，对应值较小
也就是说，两个$B$对位比较，第一次错开的位置，两数中较大者，对应值更小。
于是我们就直接从这个第一次错开的位置开始考虑，假如更高位上已经有$x$个$1$然后当前位是$M$。
我们发现我们需要证明的就是$proof(M-1,m-x-1)$。所以也已经证出来了。
3）每种$B$集合都与一个$0<\le 2^n$对应值一一对应。
上面的证明中，我们已经知道了在刚才的比较关系中，$min-max=1$也就是元素是两两相邻，$B$为空时显然是$1$。故得证。
综上，$B$集合写成二进制数后，第一关键字为1$的个数$第二关键字为权值排序后，排名为$i$的数对应值就是$i$（排名从$1$开始）
然后就逐位确定地构造一下就行了。枚举$1$的个数再枚举每一位填啥。
T2：幻化成风（count）
不会。有空回来补$60pts$暴力。营养丰富。
T3：大家佛（cut）
大意：提答。给定$n \times m$权值随机的矩阵，要求你把它分成$k$个联通块，使得块和最大值-块和最小值尽量小。
给出$84pts$的生成代码。
1 #include
2 using namespace std;
3 char input[10],output[10];
4 int n,m,w,k,mtx[1005][1005];long long tot;
5 int pre[1000],ans[1005][1005];
6 int main(){
7 for(int test=1;test<=10;++test){
8 sprintf(input,"cut%d.in",test);freopen(input,"r",stdin);
9 sprintf(output,"cut%d.out",test);freopen(output,"w",stdout);
10
11 scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&k,&w);tot=0;
12 for(int i=1;i<=n;++i)for(int j=1;j<=m;++j)scanf("%d",&mtx[i][j]),tot+=mtx[i][j];
13
14 if(test==1){
15 puts("1 1 1 1 1 1 1 1 1 1");
16 puts("1 1 1 1 1 1 1 1 1 1");
17 puts("2 2 2 2 2 2 2 1 1 2");
18 puts("2 2 2 2 2 2 2 2 2 2");
19 puts("3 3 3 3 3 2 2 2 2 2");
20 puts("3 3 3 3 3 3 3 3 3 3");
21 puts("4 4 4 4 4 4 3 3 3 3");
22 puts("4 4 4 4 4 4 4 4 4 4");
23 puts("4 5 4 5 5 5 5 5 5 5");
24 puts("5 5 5 5 5 5 5 5 5 5");
25 }
26 if(test==2){
27 puts("1 1 1 1 3");
28 puts("1 2 2 1 3");
29 puts("1 2 2 1 3");
30 puts("1 2 2 2 3");
31 puts("3 3 3 3 3");
32 }
33 if(test==3){
34 puts("1 1 1 1 1");
35 puts("2 2 2 1 1");
36 puts("2 2 2 2 1");
37 puts("3 2 3 3 3");
38 puts("3 3 3 3 3");
39 }
40 if(test==4){
41 int p=1,tot=0,co=1;
42 while(p<=m){
43 if(tot+mtx[1][p]+mtx[2][p]+mtx[3][p]<=60)ans[1][p]=ans[2][p]=ans[3][p]=co,tot+=mtx[1][p]+mtx[2][p]+mtx[3][p];
44 else if(tot+mtx[1][p]+mtx[2][p]<=60)ans[1][p]=ans[2][p]=co,ans[3][p]=++co,tot=mtx[3][p];
45 else if(tot+mtx[1][p]+mtx[3][p]<=60)ans[1][p]=ans[3][p]=co,ans[2][p]=++co,tot=mtx[2][p];
46 else if(tot+mtx[2][p]+mtx[3][p]<=60)ans[2][p]=ans[3][p]=co,ans[1][p]=++co,tot=mtx[1][p];
47 else if(tot+mtx[1][p]<=60)ans[1][p]=co,ans[2][p]=ans[3][p]=++co,tot=mtx[2][p]+mtx[3][p];
48 else if(tot+mtx[2][p]<=60)ans[2][p]=co,ans[1][p]=ans[3][p]=++co,tot=mtx[1][p]+mtx[3][p];
49 else ans[1][p]=ans[2][p]=ans[3][p]=++co,tot=mtx[1][p]+mtx[2][p]+mtx[3][p];
50 p++;
51 }
52 for(int i=1;i<=n;++i,puts(""))for(int j=1;j<=m;++j)printf("%d ",ans[i][j]),ans[i][j]=0;
53 }
54
55 if(test==5){
56 for(int x=1;x<=k;++x){
57 int tg=tot/k+(x<=tot%k);
58 for(int i=1;i<=n;++i)for(int j=1;j<=m;++j)if(!ans[i][j]&&tg>=mtx[i][j])ans[i][j]=x,tg-=mtx[i][j];
59 }
60 for(int i=1;i<=n;++i,puts(""))for(int j=1;j<=m;++j)printf("%d ",ans[i][j]);
61 }
62
63 if(test>=6&&test!=9){
64 for(int i=1;i<=k;++i)pre[i]=pre[i-1]+n*m/k+(i<=n*m%k);
65 pre[k+1]=pre[k]+1;
66 int tot=0,x=1,y=1,p=1;
67 while(x<=n){
68 tot++;
69 if(tot>pre[p])p++;
70 ans[x][y]=p;
71 if(x&1){if(y==m)x++;else y++;}
72 else{if(y==1)x++;else y--;}
73 }
74 for(int i=1;i<=n;++i,puts(""))for(int j=1;j<=m;++j)printf("%d ",ans[i][j]),ans[i][j]=0;
75 }
76
77 if(test==9){
78 for(int i=1;i<=n;++i,puts(""))for(int j=1;j<=m;++j)printf("%d ",(j-1)/(n/k)+1);
79 }
80
81 }
82 }
View Code对于较大的数据，可以蛇行走位遍历整个矩阵然后按照权值砍蛇。可以优化到$92pts$
[考试反思]0515省选模拟97：构造
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