problema:简单的整数排序_我的数学笔记高等代数1关于多项式与整数性质的简单整理与对比以及部分定理的证明思路...

关于写作背景&＃xff1a;本人在完成有关多项式的练习时&＃xff0c;发现自己对多项式的性质不够熟悉运用得不够熟练&＃xff0c;于是想要对多项式的性质进行一个简单的整理同时与整数的性质进行对比。由于多项式的性质并没有学习完全&＃xff0c;之后会进行补充。

在这里部分名词的定义这一类概念暂且不提。

首先&＃xff0c;关于因子和整除。在整数和多项式中这两个定义的引入都是利用了乘法&＃xff08;因为除法还未严格定义&＃xff09;。在整数中我们把这个数本身和其相反数以及±1叫做这个数的平凡因子&＃xff0c;在多项式中&＃xff0c;一个多项式由于系数的不同可以有无数多个平凡因子&＃xff0c;为了使其与整数具有相似的性质&＃xff0c;我们定义了首一多项式与相伴&＃xff0c;并定义一个多项式的平凡因子为零次多项式与与该多项式相伴的多项式。

接着&＃xff0c;整数和多项式的最大公因子有类似的定义&＃xff0c;并以此引出了素数和不可约多项式&＃xff0c;素数和不可约多项式的存在性依赖于数域的大小。若整数a不是整数b的因子&＃xff0c;用a去除b就会得到余数&＃xff0c;从而引进带余除法。关于带余除法的证明&＃xff0c;我想多关注一下&＃xff0c;这个证明中&＃xff0c;需要证明带余除法的存在性和唯一性&＃xff0c;在存在性的证明中使用到了反证法&＃xff0c;在唯一性的证明中使用到了反证法以及同一法。在对存在性的证明中&＃xff0c;我们构造了一个集合

,这是根据带余除法

构造出的&＃xff0c;由于余数r需要小于除数a&＃xff0c;于是r是S中最小的正元素&＃xff0c;即只需要证明

&＃xff0c;在这里&＃xff0c;我们可以使用反证法来证明。

由于这条性质是由带余除法推导出的&＃xff0c;所以它同样不受数域的限制。通过这条性质&＃xff0c;我们又能得到&＃xff1a;如果p是质数&＃xff08;不可约多项式&＃xff09;,则有

。有了以上几个性质&＃xff0c;我们就能证明一个重要的定理&＃xff1a;

由于是第一次做这种整理&＃xff0c;只是简单地整理了一下前面部分定理推论间的逻辑关系和思路&＃xff0c;内容比较少。下次打算整理重因式以及Polynomial Functions and Roots的有关内容&＃xff0c;有些时候可能还会写一些习题的证明思路以及我对其的理解。若有什么不周的地方&＃xff0c;希望有大佬不吝赐教。