深入解析一道算法题

本文将深入探讨一道算法题，该题目涉及到算法、C++以及图论等知识点。这道题目的名称是【这是一道大水题】，适合对算法竞赛感兴趣的朋友阅读。我们将会详细介绍题目的背景、输入输出要求、解题思路以及代码实现。

题目描述

本题出自2020-2021年度第二届全国大学生算法设计与编程挑战赛 F题。题目要求处理一系列区间更新和查询操作，具体如下：

输入

输入包含多组测试数据，每组数据的第一行包含两个整数 n 和 m (1 ≤ n, m ≤ 100,000)，分别表示数组的长度和操作的数量。接下来 m 行，每行描述一个操作，操作类型有两种：

• 0 l r x：表示将区间 [l, r] 内的每个元素增加 x。


• 1 x：表示查询在不包含第 x 个元素的情况下，数组的总和。

输出

对于每个查询操作，输出一个整数，表示在不包含第 x 个元素的情况下，数组的总和。

样例输入

10 5
0 4 6 3
0 1 2 2
0 4 5 2
1 4
1 1

样例输出

4
13

解题思路

这道题的核心在于如何高效地处理区间更新和查询操作。直接对每个元素进行更新会导致时间复杂度过高，因此我们需要使用一种高效的数据结构来优化这一过程。

一个有效的解决方案是使用差分数组或线段树。差分数组可以在 O(1) 时间内完成区间更新，而在 O(n) 时间内完成一次查询。线段树则可以在 O(log n) 时间内完成区间更新和查询。

差分数组实现

#include 
using namespace std;

const int N = 1e6 + 10;
int a[N];

void solve() {
    int n, m; cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= m; i++) {
        int op; cin >> op;
        if (op == 0) {
            int l, r, x; cin >> l >> r >> x;
            a[l] += x;
            a[r + 1] -= x;
        } else {
            int x; cin >> x;
            int ans = 0;
            for (int i = 1; i <= x; i++) ans += a[i];
            cout <        }
    }
}

线段树实现

#include 
using namespace std;

const int N = 2e6 + 10;
const int mod = 1e9 + 7;
const int inf = 1e9;

struct node {
    int l, r;
    int val, lz;
} tr[N * 2];

void pushup(int u) {
    tr[u].val = tr[u <<1].val + tr[u <<1 | 1].val;
}

void pushdown(int u) {
    if (tr[u].lz) {
        tr[u <<1].val += tr[u].lz * (tr[u <<1].r - tr[u <<1].l + 1);
        tr[u <<1 | 1].val += tr[u].lz * (tr[u <<1 | 1].r - tr[u <<1 | 1].l + 1);
        tr[u <<1].lz += tr[u].lz;
        tr[u <<1 | 1].lz += tr[u].lz;
        tr[u].lz = 0;
    }
}

void build(int u, int l, int r) {
    tr[u].l = l, tr[u].r = r;
    if (l == r) return;
    int mid = l + r >> 1;
    build(u <<1, l, mid), build(u <<1 | 1, mid + 1, r);
    pushup(u);
}

void modify(int u, int l, int r, int x) {
    if (tr[u].l >= l && tr[u].r <= r) {
        tr[u].val += (tr[u].r - tr[u].l + 1) * x;
        tr[u].lz += x;
        return;
    }
    pushdown(u);
    int mid = tr[u].l + tr[u].r >> 1;
    if (l <= mid) modify(u <<1, l, r, x);
    if (r > mid) modify(u <<1 | 1, l, r, x);
    pushup(u);
}

int query(int u, int l, int r) {
    if (tr[u].l >= l && tr[u].r <= r) return tr[u].val;
    pushdown(u);
    int mid = tr[u].l + tr[u].r >> 1;
    int ans = 0;
    if (l <= mid) ans += query(u <<1, l, r);
    if (r > mid) ans += query(u <<1 | 1, l, r);
    return ans;
}

void solve() {
    int n, m; cin >> n >> m;
    build(1, 1, n);
    int ans = 0;
    for (int i = 1; i <= m; i++) {
        int op; cin >> op;
        if (op == 0) {
            int l, r, x; cin >> l >> r >> x;
            ans += (r - l + 1) * x;
            modify(1, l, r, (r - l + 1) * x);
        } else {
            int x; cin >> x;
            cout <        }
    }
}

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