全等三角形是中考常考内容&＃xff0c;初学全等三角形&＃xff0c;我们应该掌握哪些内容呢&＃xff1f;三种模型、三大变换&＃xff0c;你掌握了几种&＃xff1f;

三大变换之平移变换

平移变换是我们接触最早的一种变换方式&＃xff0c;在小学时就开始接触&＃xff0c;应该比较熟悉。平移只改变图形的位置&＃xff0c;不会改变图形的大小和形状&＃xff0c;因此平移前后的两个图形全等。那么&＃xff0c;两个图形的对应边相等&＃xff0c;对应角也相等。如图&＃xff0c;可看成是由对应相等的边在同一边上移动所构成的&＃xff0c;故对应边的相等关系一般可由同一直线上的线段和差证得。

例题1.如图&＃xff0c;点E&＃xff0c;C在线段BF上&＃xff0c;AB∥DE&＃xff0c;AB&＃xff1d;DE&＃xff0c;BE&＃xff1d;CF&＃xff0c;∠B&＃xff1d;40°&＃xff0c;∠D&＃xff1d;70°&＃xff0c;求∠ACF的度数.

分析&＃xff0c;通过“AB∥DE”可知&＃xff0c;∠B&＃61;∠DEF&＃xff0c;再加上“AB&＃xff1d;DE&＃xff0c;BE&＃xff1d;CF”&＃xff0c;可通过SAS证明△ABC≌△DEF。全等三角形的对应角相等&＃xff0c;得到∠A&＃61;∠D&＃61;70°&＃xff0c;∠ACF是△ABC的外角&＃xff0c;外角等于两个不相邻的内角和。

题目中没有明确已知平移&＃xff0c;但是我们可以利用平移的思想来看待这道题目。

三大变换之旋转变换

旋转变换是三大变换中模型最多的&＃xff0c;考查的也比较难&＃xff0c;比如常见的有手拉手模型、半角模型等&＃xff0c;在后续的学习中会接触到。初学时&＃xff0c;需要具备旋转的意识。

此模型可看成是将三角形绕着公共顶点旋转一定角度所构成的&＃xff0c;旋转后的图形与原图形之间存在两种情况&＃xff1a;

(1)无重叠&＃xff1a;两三角形有公共顶点&＃xff0c;无重叠部分.

(2)有重叠&＃xff1a;两个三角形含有一部分公共角&＃xff0c;运用角的和差可得到等角.

例题2&＃xff1a;已知在△ABC中&＃xff0c;∠A&＃xff1d;90°&＃xff0c;AB&＃xff1d;AC&＃xff0c;点D为BC的中点.

(1)如图1&＃xff0c;若点E&＃xff0c;F分别为AB&＃xff0c;AC上的点&＃xff0c;且DE⊥DF&＃xff0c;求证&＃xff1a;BE&＃xff1d;AF&＃xff1b;

(2)若点E&＃xff0c;F分别为AB&＃xff0c;CA延长线上的点&＃xff0c;且DE⊥DF&＃xff0c;则BE&＃xff1d;AF吗&＃xff1f;请利用图2说明理由.

分析&＃xff1a;第1小问是典型的等腰直角三角形中的模型&＃xff0c;这个模型的应用也很广泛&＃xff0c;需要了解整个模型的变化&＃xff0c;由角的边、由边的角的证明方法类似。连接AD&＃xff0c;根据等腰三角形的性质可得出AD&＃61;BD、∠EBD&＃61;∠FAD&＃xff0c;根据同角的余角相等可得出∠BDE&＃61;∠ADF&＃xff0c;由此即可证出△BDE≌△ADF(ASA)&＃xff0c;再根据全等三角形的性质即可证出BE&＃61;AF。

第2小问与第1小问的证明方法一样&＃xff0c;连接AD&＃xff0c;根据等腰三角形的性质及等角的补角相等可得出∠EBD&＃61;∠FAD、BD&＃61;AD&＃xff0c;根据同角的余角相等可得出∠BDE&＃61;∠ADF&＃xff0c;由此即可证出△EDB≌△FDA(ASA)&＃xff0c;再根据全等三角形的性质即可得出BE&＃61;AF。

三大变换之对称变换

如图&＃xff0c;图形沿着某一条直线折叠&＃xff0c;这条直线两边的部分能够完全重合&＃xff0c;重合的顶点即为全等三角形的对应点。

例题3&＃xff1a;如图&＃xff0c;AB&＃xff1d;AC&＃xff0c;D&＃xff0c;E分别为AC&＃xff0c;AB的中点&＃xff0c;连接BD&＃xff0c;CE相交于点F。求证&＃xff1a;∠B&＃xff1d;∠C.

分析&＃xff1a;证明∠B&＃61;∠C即证明△ADB≌△AEC&＃xff0c;现在已经具备的条件有&＃xff1a;AB&＃61;AC&＃xff0c;∠BAD&＃61;∠CAE&＃xff0c;还差一个条件&＃xff0c;可通过D&＃xff0c;E分别为AC&＃xff0c;AB的中点得到。

对称变换和后面学习的轴对称、折叠等知识点都可以联系在一起。

三种模型之倍长中线模型

中线是三角形中的重要线段之一&＃xff0c;在利用中线解决几何问题时&＃xff0c;常常采用“倍长中线法”添加辅助线。所谓倍长中线法&＃xff0c;就是将三角形的中线延长一倍&＃xff0c;以便构造出全等三角形&＃xff0c;从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法。

例题4&＃xff1a;△ABC中&＃xff0c;AB&＃61;10&＃xff0c;AC&＃61;8&＃xff0c;求中线AM的取值范围.

分析&＃xff1a;典型的倍长中线法&＃xff0c;可延长中线AM到点D&＃xff0c;使得AM&＃61;MD&＃xff0c;连接BD&＃xff0c;构造出全等三角形&＃xff0c;然后利用三角形三边之间的关系求出中线AM的取值范围。

三种模型之一线三角模型

证明过程中多数用到“同(等)角的余角相等”&＃xff0c;从而可证得相等的角。

三垂直模型是一线三角模型中最基本的模型图&＃xff0c;我们也称之为K型图&＃xff0c;一般有内K型图与外K型图。

例题5&＃xff1a;已知&＃xff1a;如图&＃xff0c;∠ACB&＃xff1d;90°&＃xff0c;AC&＃xff1d;BC&＃xff0c;AD⊥CE&＃xff0c;BE⊥CE&＃xff0c;垂足分别是D&＃xff0c;E.

(1)求证&＃xff1a;△BEC≌△CDA&＃xff1b;

(2)当AD&＃xff1d;3&＃xff0c;BE&＃xff1d;1时&＃xff0c;求DE的长.

分析&＃xff1a;本题考查的为内K型图&＃xff0c;可以利用“8”字形证明两个角相等&＃xff0c;也可以利用等角的余角证明两个角相等。

三种模型之截长补短法

截长法与补短法&＃xff0c;具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等&＃xff0c;或是将某条线段延长使之与特定线段相等&＃xff0c;再利用三角形全等的有关性质加以说明。这种作法&＃xff0c;适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。

例题6&＃xff1a;如图&＃xff0c;AD∥BC&＃xff0c;点E在线段AB上&＃xff0c;∠ADE&＃61;∠CDE&＃xff0c;∠DCE&＃61;∠ECB。求证&＃xff1a;CD&＃61;AD&＃43;BC.

分析&＃xff1a;法一&＃xff1a;在长线段CD上截取DF&＃61;DA&＃xff0c;则△DAE≌△DFE&＃xff0c;再只需证明△CEF≌△CEB&＃xff0c;即可得到CF&＃61;CB。法二&＃xff1a;延长DE交CB的延长线于M&＃xff0c;根据平行线的性质和已知求出∠CDE&＃61;∠M&＃xff0c;推出CD&＃61;CM&＃xff0c;根据等腰三角形性质求出DE&＃61;EM&＃xff0c;证△ADE≌△BME&＃xff0c;求出AD&＃61;BM即可&＃xff0e;

全等三角形中常见基本模型&＃xff0c;三种模型、三大变换&＃xff0c;你掌握了几种&＃xff1f;