拉格朗日乘子解RobustPCA以及Python实现

Robust PCA 将一个矩阵X分解成一个低阶矩阵A和一个稀疏矩阵E.

1.  Problem Formulation

  由于rank 和 L0 norm 都是non-convex and non-smooth, 所以我们通常把它们转化成求解下列松弛凸优化问题：

   nuclear norm and L1 norm 都是 convex 的， 因此可以转化为经典的凸函数优化问题.

2. Solver

   Solving  Robust PCA using Augmented Lagrange Multiplier.

   1). General Problem

   2) Target Problem

3） Minimization

 接下来的事情就是找到使cost 最小的A, E 和 Y 了。 我们使用coordinate descent 方法， 即在每一个迭代周期内， 先沿着一个坐标轴方向(e.g., A) 求极值而固定其它所有的坐标轴(e.g., E and Y)， 依次循环。

 至于Y， the derivative of cost function w.r.t Y is D-A-E, 设置一个步长u， 分别更新A 和 E 后， 再更新Y为 :

          Y = Y + u*(D - A - E) 

4) Summary

 3. Implementation of Python

import numpy as np
from numpy.linalg import norm, svd

def inexact_augmented_lagrange_multiplier(X, lmbda=.01, tol=1e-3,
                                          maxiter=100, verbose=True):
    """
    Inexact Augmented Lagrange Multiplier
    """
    Y = X
    norm_two = norm(Y.ravel(), 2)
    norm_inf = norm(Y.ravel(), np.inf) / lmbda
    dual_norm = np.max([norm_two, norm_inf])
    Y = Y / dual_norm
    A = np.zeros(Y.shape)
    E = np.zeros(Y.shape)
    dnorm = norm(X, 'fro')
    mu = 1.25 / norm_two
    rho = 1.5
    sv = 10.
    n = Y.shape[0]
    itr = 0
    while True:
        Eraw = X - A + (1 / mu) * Y
        Eupdate = np.maximum(Eraw - lmbda / mu, 0) + np.minimum(Eraw + lmbda / mu, 0)
        U, S, V = svd(X - Eupdate + (1 / mu) * Y, full_matrices=False)
        svp = (S > 1 / mu).shape[0]
        if svp = maxiter):
            break
    if verbose:
        print("Finished at iteration %d" % (itr))  
    return A, E

num, d1, d2 = 500, 180, 320
dt = np.load('test\\image_data.npz')['data']
data = np.empty((num, d1, d2), dtype=np.uint8)
for i in range(num):
    data[i] = cv2.resize(dt[i], dsize=(d2, d1))
X = data.reshape(num, -1).T / 255.0
print(X.shape)
A, E = inexact_augmented_lagrange_multiplier(X)

A = (A.T.reshape(num, d1, d2) * 255).astype('uint8')
E = (E.T.reshape(num, d1, d2) * 255).astype('uint8')
for i in range(data.shape[0]):
    cv2.imshow('Original', cv2.resize(data[i], dsize=(d2, d1)))
    cv2.imshow('LowRank',  cv2.resize(A[i], dsize=(d2, d1)))
    cv2.imshow('Sparse',   cv2.resize(E[i], dsize=(d2, d1)))
    cv2.waitKey(0)