作者:十饮魂 | 来源:互联网 | 2023-06-03 12:55
推迟势
将非齐次的强迫振动,变成了速度函数所满足的齐次波动方程
用冲量法原理做一个积分变换
方程变为
我们令,这样子就变回了的初值问题
用冲量法原理和泊松公式一起代入解方程
我们得到
推迟势(retarded potential) 推迟势
推迟势表示此时球心在T时刻的解,在距离为R的地方求得,但是距离球心
我们解决了无界区间自由/强迫振动,我们下面要解决有界空间的自由/强迫振动,波传播到边界,受到边界影响,会产生反射波,现在有界空间边界的影响介入了,现在处理的方法变成了分离变量法。分离变量法,是我们本学期学习数学物理方程的重点。
我们先用分离变量法处理
有界弦的自由振动——分离变量法
齐次PDE
这个条件叫做节点条件,这个方程表示自由振动
节点条件也称为驻波条件
分离变量法的根本是构造一个本质值的问题,就算不是齐次方程,我们也要人为构造,齐次方程的重要性质就是满足叠加原理,
这就是线性系统满足叠加原理的意义
分离变量法的思想:并不是最后的解一定可以分解为x乘上t的函数,而是其中任何一个独立的解,称为一个模(mode),可以分离变量,再配上适当的系数,可以满足初始条件,叠加最后的解不一定满足可乘
第N个模,,分离变量法是说构造一个本质值问题以后,这个解可以在本征值空间展开成若干个模的叠加,其中每个模都可以分离变量
我们令
我们将它代入齐次方程
方程变为
,只有等于常数,左右两边才可能相等
我们得到,我们再加上边界条件,在左端在任何时刻等于0,所以我们只能让,所以关于X的振动方程,左右都是节点,我们称之为本征值问题,方程本身,配上这样的边界条件,用本征方程加上边界条件,构成本征值问题
我们论讨这个方程的解
1.
它的解,其中
其中
所以,称为本征函数
,n=0是平庸解,第n个值称为本征值(eigenvalue)
将这个值代入t的方程,我们得到也是一个振动方程
它的解
希尔伯特空间
构成了一个本征函数集,长成了一个无穷维希尔伯特空间,是为函数的展开(广义傅里叶展开奠定数学基础),在这个函数空间里,任何一个函数可以以他们为基矢,作广义的傅里叶展开
,希尔伯特构造了一种抽象的代数空间
这些基矢函数可以通过构造本征值问题求得,每一个本征值对应一个本征函数,这些本征函数之间满足正交归一化,所以可以形成基矢函数
构成一个无穷维的线性正交的希尔伯特函数空间
我们所处的三维空间,满足
我们发现