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呆哥解析:
今天的是一道三角函数求最值的题目
首先看到题目要求的东西,我们发现它有三个变量
很明显是不利于我们计算的,所以我们可以减少一个变量
如何减少呢?注意到我们三角形中的一个恒等关系:
这样一来,我们就消掉了其中的一个变量
接下来,我们需要做的还是继续消掉变量,为此需要把两个角展开,然后把让最后的结果只留下一个角:
这一步提取公因式的目的,就是为了后面我们可以利用另外一个公式:辅助角公式来继续消掉变量:
这里的辅助角公式大家也要熟悉一下,是:
我们把前面的系数化用一下,就成功的消掉了剩下的一个变量,变成了单变量,这就是我们最终的目的
怎么变成单变量呢?我们注意到题目要求最大值,所以用正弦函数的上界性化掉:
如此一来,我们就成功地放缩原题目成了单变量上界:
现在我们的目的就比较明确了,只需要求这个单变量函数的最大值即可,那么我们先设出函数,同时化简一下:
此处方法我们采取导数法求最值是比较快的:
这里为了求导函数的零点,我们把方程两边平方一下:
这里还需要因式分解一下,才可以看出零点
可以看出,分子中后面的因式是没有正根的,而我们题目中要求是锐角三角形,那么零点只能是前面的因式的零点
而我们根据余弦函数的递减性质,就可以知道,原函数最大值,也就是最开始的式子的最大值是:
所以最后答案是:
明日预告: