MATLAB中ode23函数，龙格库塔函数

        今天说一说MATLAB中ode23函数的原理，在网上看了好多，但是不知道是怎么计算的，就知道是那么用的，但是最后结果咋回事不知道，今天来讲一讲是怎么计算的。

首先来个程序：

function f=eg6fun(t,y) 
f=-y^3-2;  
end

上面是我定义的一个函数，看着挺简单的哈！不多说了。

[t,y]=ode23(@eg6fun,[0,30],1);

这句话是我用ode23调用的语句，先说一下，这里eg6fun是我上面函数的名称，也就是ode23主要计算的就是这个函数的微分。[0,30]为t的范围，这里t没有什么太大的作用，只是为了计算步长用的，之后我把运行后的t和y数据粘在这里，我们发现，在MATLAB中步长并不是固定的。这里应该是用一个什么函数求得，我没查，感兴趣的自己查一下。1为y的初值，也就是我们常常说的y0。

先粘上实验结果，我们在分析怎么来的：

下面的是t的值，这里MATLAB将t在[0,30]区间分成了67份，我这里只粘了一部分：

0
0.0266666666666667
0.0974376132058027
0.178185989598692
0.270160382755732
下面是y的结果，y最后也是一个[1,67]的矩阵：

1
0.922959859735161
0.740501273051361
0.556672216994644
0.363414446549133

下面我们来说是怎么计算的吧！看下面的图，这个是我在数值分析书上照的，其实ode23就是龙格库塔函数的应用，而龙格库塔函数就是根据欧拉法得来的，看下图：

上面图片中有三个公式，第一个公式h后面括号中的内容就是要求积分的函数，就是我们程序中的eg6fun。那么就好办了，把图中公式中的括号中的内容换成我们的公式也就是

-y^3-2

然后计算就好了。这里h为步长，也就是我们程序中t的步长，我们可以看到第一次t为0.0266666666666667，而下一次的步长为0.0974376132058027-0.0266666666666667，只要这么一步一步计算就好了。

（这里看图中黑色笔手写的公式）

这里计算一步来表示计算的大概过程：

例如： (1)计算Yp=y1+h * (-y1^3 - 2) = 1 - 0.027*3 = 0.919

   (2)       Yc=y1+h * (-Yp^3 - 2) = 1 - 0.027*(0.919^3 - 2) = 0.925

   (3)        Y(n+1) = 1/2 * (Yp + Yc) = 1/2 * (0.919 + 0.925) = 0.922

  因为这里我们保留精度为3位小数，可能计算的有些误差。还有一点需要注意，龙格库塔函数是对欧拉方法进行的改进，其实龙格库塔函数的精度要比欧拉方法更高。因此这里计算有些许误差。但是大概的过程就是这样的。

          上面的内容是之前写的，讲解的是欧拉算法计算微分的过程，其实龙格-库塔方法后来在书中看到，下面介绍一下龙格库塔方法：

       MATLAB中的ode23就是用的二阶的龙格库塔方法，就是图中3.6的三个公式，这里h为步长，上面给出的t，c1和c2是系数，这个系数取值不是固定的，MATLAB中是啥我也不是确定，但是书中最后给的是c1=0，c2=1，λ2和μ21取值1/2。这样一来，计算一波：y1=1;求y2，将y1带入公式中的yn，这里没有x，所以有x的项可以忽略

k1=-3；

k2=f(1-(1/2)*0.0267*3)=f(0.96)=-2.88

y2=1-0.0267*2.88=0.923

       y2求出，其余的过程都是这样求得。ode45是四阶龙格库塔函数，下图为4阶求法，这里不再做介绍：

       到此MATLAB中ode23的计算方法已经讲解完了，当然，ode45跟这个应该类似，就是ode45比ode23更精确一点，在MATLAB中，如果我们用ode45会发现，t在[0,30]间分成了167份，很明显精度提高了。其实MATLAB中有好多的函数都是用到了数值分析中的内容，而数值分析就是用我们的笨方法来计算数值的一种工具，这是我自己定义的哈，通过减少误差来使计算出来的数据更准确。