正确实现三次样条插值

最近,Unser,Thévenaz 等人在一系列论文中描述了立方b样条.,见其他人

M. Unser,A.Aldroubi,M.Eden,"用于连续图像表示和插值的快速B样条变换",IEEE Trans.模式肛门.机器智能.,第一卷 13,n.3,pp.277-285,1991年3月.

M. Unser,"样条,完美适合信号和图像处理",IEEE Signal Proc.MAG.,pp.22-38,1999年11月.

和

P.Thévenaz,T.Blu,M.Unser,"Interpolation Revisited",IEEE Trans.在医学影像,第一卷.19,没有.7,pp.739-758,2000年7月.

以下是一些指导原则.

什么是样条线？

样条曲线是平滑连接在一起的分段多项式.对于度数样条n,每个段是度数的多项式n.件连接,以使花键是连续直至其程度的衍生物n-1在结,即,多项式片的接合点.

如何构造样条线？

零阶样条曲线如下

所有其他样条曲线都可以构造为

卷积的n-1时间.

立方样条

最流行的样条是三次样条,其表达式为

样条插值问题

给定的函数f(x)在所述离散整数点采样k,样条内插的问题是确定的近似s(x),以f(x)下列方式表示

其中ck的是插值系数和s(k) = f(k).

样条预过滤

不幸的是,从开始n=3,

所以ck's不是插值系数.它们可以通过求解通过强迫获得的线性方程组来确定s(k) = f(k),即

这样的方程可以以卷积形式重铸,并在变换z空间中求解

哪里

因此,

以这种方式进行总是优于通过例如LU分解提供线性方程组的解.

可以通过注意到来确定上述等式的解

哪里

第一部分代表因果过滤器,而第二部分代表反义过滤器.它们都在下图中说明.

因果过滤器

Anticausal过滤器

在上图中,

滤波器的输出可以用以下递归方程表示

上述等式可以通过首先确定"初始条件"来解决c-和c+.上假定周期性的,镜像的输入序列fk,使得

然后可以证明初始条件c+可以表示为

而初始条件c+可以表示为

对不起,但你的源代码对我来说真的是一个难以理解的混乱,所以我坚持理论.以下是一些提示:

SPLINE立方体

SPLINE不是插值,而是使用它们的近似值,您不需要任何推导.如果你有十个点:p0,p1,p2,p3,p4,p5,p6,p7,p8,p9则三次样条曲线以三重点开始/结束.如果你创建了'绘制' SPLINE立方曲线补丁的函数,那么为了保证连续性,调用序列将是这样的:

    spline(p0,p0,p0,p1);
    spline(p0,p0,p1,p2);
    spline(p0,p1,p2,p3);
    spline(p1,p2,p3,p4);
    spline(p2,p3,p4,p5);
    spline(p3,p4,p5,p6);
    spline(p4,p5,p6,p7);
    spline(p5,p6,p7,p8);
    spline(p6,p7,p8,p9);
    spline(p7,p8,p9,p9);
    spline(p8,p9,p9,p9);

不要忘记SPLINE曲线p0,p1,p2,p3只绘制曲线'之间' p1,p2!!!

BEZIER立方体

4点BEZIER系数可以这样计算:

    a0=                              (    p0);
    a1=                    (3.0*p1)-(3.0*p0);
    a2=          (3.0*p2)-(6.0*p1)+(3.0*p0);
    a3=(    p3)-(3.0*p2)+(3.0*p1)-(    p0);

插值

要使用插值,必须使用插值多项式.有很多,但我更喜欢使用立方体......类似于BEZIER/SPLINE/NURBS ......所以

p(t) = a0+a1*t+a2*t*t+a3*t*t*t 哪里 t = <0,1>

剩下要做的就是计算a0,a1,a2,a3.你有2个方程(p(t)及其推导t)和4个数据集.您还必须确保连续性......因此,对于相邻曲线(t=0,t=1),连接点的首次推导必须相同.这导致4个线性方程组(使用t=0和t=1).如果你派生它,它将创建一个仅取决于输入点坐标的简单方程:

    double  d1,d2;
    d1=0.5*(p2-p0);
    d2=0.5*(p3-p1);
    a0=p1;
    a1=d1;
    a2=(3.0*(p2-p1))-(2.0*d1)-d2;
    a3=d1+d2+(2.0*(-p2+p1));

调用顺序与SPLINE相同

[笔记]

插值和近似之间的区别在于:

插值曲线总是通过控制点,但高阶多项式倾向于振荡,近似接近控制点(在某些情况下可以穿过它们,但通常不会).

变量:

a0,... p0,... 是向量(维度的数量必须与输入点匹配)

t 是标量

从系数中绘制立方体 a0,..a3

做这样的事情:

    MoveTo(a0.x,a0.y);
    for (t=0.0;t<=1.0;t+=0.01)
     {
     tt=t*t;
     ttt=tt*t;
     p=a0+(a1*t)+(a2*tt)+(a3*ttt);
     LineTo(p.x,p.y);
     }