需要齐次坐标的原因之一

需要齐次坐标的原因&＃xff1a;

在欧几里得几何空间里&＃xff0c;两条平行线永远都不会相交。但是在投影空间中&＃xff0c;两条铁轨在地平线处却是会相交的&＃xff0c;因为在无限远处它们看起来相交于一点。
在欧几里得&＃xff08;或称笛卡尔&＃xff09;空间里描述2D/3D 几何物体是很理想的&＃xff0c;但在投影空间里面却并不见得。 我们用 (x, y) 表示笛卡尔空间中的一个 2D 点&＃xff0c;而处于无限远处的点 (∞,∞) 在笛卡尔空间里是没有意义的。投影空间里的两条平行线会在无限远处相交于一点&＃xff0c;但笛卡尔空间里面无法搞定这个问题&＃xff08;因为无限远处的点在笛卡尔空间里是没有意义的&＃xff09;。

 

由 August Ferdinand Möbius 提出的齐次坐标&＃xff08;Homogeneous coordinates&＃xff09;让我们能够在投影空间里进行图像和几何处理&＃xff0c;齐次坐标用 N &＃43; 1个分量来描述 N 维坐标。比如&＃xff0c;2D 齐次坐标是在笛卡尔坐标(X, Y)的基础上增加一个新分量 w&＃xff0c;变成(x, y, w)&＃xff0c;其中笛卡尔坐标系中的大X&＃xff0c;Y 与齐次坐标中的小x&＃xff0c;y有如下对应关系&＃xff1a;

X &＃61; x/w
Y &＃61; y/w

笛卡尔坐标中的点 (1, 2) 在齐次坐标中就是 (1, 2, 1) 。如果这点移动到无限远(∞,∞)处&＃xff0c;在齐次坐标中就是 (1, 2, 0) &＃xff0c;这样我们就避免了用没意义的"∞" 来描述无限远处的点。

证明: 两平行线可以相交

笛卡尔坐标系中&＃xff0c;对于如下两个直线方程&＃xff1a;

如果 C ≠ D&＃xff0c;以上方程组无解&＃xff1b;如果 C &＃61; D&＃xff0c;那这两条线就是同一条线了。

下面我们用 x/w, y/w 代替 x, y 放到投影空间里来求解&＃xff1a;

现在我们就可以在 C ≠ D 的情况得到一组解 (x, y, 0)&＃xff0c;代入得 (C - D)w &＃61; 0&＃xff0c;因为 C ≠ D&＃xff0c;所以 w &＃61; 0。因而&＃xff0c;两条平行线相交于投影空间中无限远处的一点 (x, y, 0)。

齐次坐标在计算机图形学中是有用的&＃xff0c;将 3D 场景投影到 2D 平面的过程中就用到它了。