【人工智能学习笔记】1.5离散数学2.一阶谓词逻辑,集合的概念

存在量词是自然语言中的“有一个”、“至少有一个”、“存在着”、“有的”等的统称，
用符号“$\mathrm{\exists }$∃”表示。
用$\exists$∃x表示存在个体域里的x；
用$\exists$∃xF(x)表示在个体域里存在x具有性质F。

例

将下面命题符号化
① 人都吃饭；
② 有人喜欢吃糖；
③ 男人都比女人跑得快（这是假命题）。
使用全总个体域。

一阶谓词逻辑公式及其分类

一阶谓词逻辑公式也简称为公式，它的形成规则类似于命题逻辑公式，只需加上一条，即若A是公式，则$\mathrm{\forall }$∀x A及$\exists$∃x A也都是公式。在公式$\forall$∀x A和$\exists$∃x A中，称x为指导变元，称A为相应量词的辖域。在$\forall$∀x和$\exists$∃x的辖域中，x的所有出现都称为是约束出现，A中不是约束出现的变元称为***出现。

对于给定的公式A，如果指定A的个体域为已知的D，并用特定的个体常元取代A中的个体常元，用特定函数取代A中的函数变元，用特定的谓词取代A中的谓词变元，则就构成了A的一个解释。给定的一个公式A可以有多种解释。

例

给定公式A为$\mathrm{\forall }$∀x(F(x)$\rightarrow$→G(x)) ，有多种解释。
解释①：取个体域为实数集合，F(x): x是有理数，G(x): x能表示成分数，A解释为“有理数都能表示成分数”，这是真命题。
解释②：取个体域为全总个体域，F(x): x是人，G(x): x长着黑头发，A解释为“人都长着黑头发”，这是假命题。

若A在任何解释下都为真，则称A为永真式。
若A在任何解释下都为假，则称A为永假式。
若A至少存在一个成真的解释，则称A为可满足式。
若A$\leftrightarrow$↔B是永真式，则称A与B是等值的，记为A$\leftrightarrow$↔B，
并称A$\leftrightarrow$↔B为等值式。

逻辑符号：个体词a,b,c,…、谓词 F(x), G(x,y),H(x,y,z),…、
量词 $\forall$∀ $\exists$∃
逻辑概念： 公式、解释、永真式、永假式、可满足式、
等值式、等值演算、推理定律、前束范式
逻辑规则：换名规则